Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33289 / 22025
↖ ↑ ↗
← N 50.705155°
E  2.861939°		 ← 386.82 m → N 50.705155°
E  2.867431°		 →
↑
386.85 m
↓
↑
386.85 m
↓
N 50.701676°
E  2.861939°		 ← 386.85 m →
149 645 m²		 N 50.701676°
E  2.867431°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507957458496094 y=0.336082458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507957458496094 × 216)
    floor (0.507957458496094 × 65536)
    floor (33289.5)     		tx = 33289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336082458496094 × 216)
    floor (0.336082458496094 × 65536)
    floor (22025.5)     		ty = 22025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33289 / 22025 ti = "16/33289/22025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33289/22025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33289 ÷ 216
    33289 ÷ 65536     		x = 0.507949829101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22025 ÷ 216
    22025 ÷ 65536     		y = 0.336074829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507949829101562 × 2 - 1) × π
    0.015899658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.04995025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336074829101562 × 2 - 1) × π
    0.327850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.02997222523653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04995025} λ = 0.04995025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02997222523653))-π/2
    2×atan(2.80098803683846)-π/2
    2×1.22788412027941-π/2
    2.45576824055883-1.57079632675     		φ = 0.88497191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04995025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.861939°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88497191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.705155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33289 KachelY 22025 0.04995025 0.88497191 2.861939 50.705155
    Oben rechts KachelX + 1 33290 KachelY 22025 0.05004612 0.88497191 2.867431 50.705155
    Unten links KachelX 33289 KachelY + 1 22026 0.04995025 0.88491119 2.861939 50.701676
    Unten rechts KachelX + 1 33290 KachelY + 1 22026 0.05004612 0.88491119 2.867431 50.701676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88497191-0.88491119) × R
    6.07200000000141e-05 × 6371000     		dl = 386.84712000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88497191-0.88491119) × R
    6.07200000000141e-05 × 6371000     		dr = 386.84712000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04995025-0.05004612) × cos(0.88497191) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.633311240510553 × 6371000     		do = 386.818760307366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04995025-0.05004612) × cos(0.88491119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.633358230380886 × 6371000     		du = 386.847461145479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88497191)-sin(0.88491119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633311240510553-0.633358230380886)×R²
    abs(0.05004612-0.04995025)×4.69898703333582e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69898703333582e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69898703333582e-05×40589641000000     		ar = 149645.274851119m²