Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33290 / 23050
↖ ↑ ↗
← N 47.002734°
E  2.867431°		 ← 416.58 m → N 47.002734°
E  2.872925°		 →
↑
416.54 m
↓
↑
416.54 m
↓
N 46.998988°
E  2.867431°		 ← 416.61 m →
173 526 m²		 N 46.998988°
E  2.872925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507972717285156 y=0.351722717285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507972717285156 × 216)
    floor (0.507972717285156 × 65536)
    floor (33290.5)     		tx = 33290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351722717285156 × 216)
    floor (0.351722717285156 × 65536)
    floor (23050.5)     		ty = 23050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33290 / 23050 ti = "16/33290/23050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33290/23050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33290 ÷ 216
    33290 ÷ 65536     		x = 0.507965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23050 ÷ 216
    23050 ÷ 65536     		y = 0.351715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507965087890625 × 2 - 1) × π
    0.01593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05004612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351715087890625 × 2 - 1) × π
    0.29656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.931701581015411
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05004612} λ = 0.05004612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931701581015411))-π/2
    2×atan(2.53882552158089)-π/2
    2×1.19557439544353-π/2
    2.39114879088706-1.57079632675     		φ = 0.82035246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05004612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.867431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82035246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.002734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33290 KachelY 23050 0.05004612 0.82035246 2.867431 47.002734
    Oben rechts KachelX + 1 33291 KachelY 23050 0.05014200 0.82035246 2.872925 47.002734
    Unten links KachelX 33290 KachelY + 1 23051 0.05004612 0.82028708 2.867431 46.998988
    Unten rechts KachelX + 1 33291 KachelY + 1 23051 0.05014200 0.82028708 2.872925 46.998988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82035246-0.82028708) × R
    6.53800000000038e-05 × 6371000     		dl = 416.535980000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82035246-0.82028708) × R
    6.53800000000038e-05 × 6371000     		dr = 416.535980000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05004612-0.05014200) × cos(0.82035246) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.681963465258298 × 6371000     		do = 416.578392058958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05004612-0.05014200) × cos(0.82028708) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.682011281833094 × 6371000     		du = 416.607600884441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82035246)-sin(0.82028708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681963465258298-0.682011281833094)×R²
    abs(0.05014200-0.05004612)×4.78165747951342e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.78165747951342e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.78165747951342e-05×40589641000000     		ar = 173525.972108619m²