Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33296 / 23056
↖ ↑ ↗
← N 46.980253°
E  2.900391°		 ← 416.71 m → N 46.980253°
E  2.905884°		 →
↑
416.79 m
↓
↑
416.79 m
↓
N 46.976504°
E  2.900391°		 ← 416.74 m →
173 687 m²		 N 46.976504°
E  2.905884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508064270019531 y=0.351814270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508064270019531 × 216)
    floor (0.508064270019531 × 65536)
    floor (33296.5)     		tx = 33296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351814270019531 × 216)
    floor (0.351814270019531 × 65536)
    floor (23056.5)     		ty = 23056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33296 / 23056 ti = "16/33296/23056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33296/23056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33296 ÷ 216
    33296 ÷ 65536     		x = 0.508056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23056 ÷ 216
    23056 ÷ 65536     		y = 0.351806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508056640625 × 2 - 1) × π
    0.01611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05062137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351806640625 × 2 - 1) × π
    0.29638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.931126338219971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05062137} λ = 0.05062137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931126338219971))-π/2
    2×atan(2.5373655004643)-π/2
    2×1.19537820689656-π/2
    2.39075641379313-1.57079632675     		φ = 0.81996009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05062137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81996009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.980253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33296 KachelY 23056 0.05062137 0.81996009 2.900391 46.980253
    Oben rechts KachelX + 1 33297 KachelY 23056 0.05071724 0.81996009 2.905884 46.980253
    Unten links KachelX 33296 KachelY + 1 23057 0.05062137 0.81989467 2.900391 46.976504
    Unten rechts KachelX + 1 33297 KachelY + 1 23057 0.05071724 0.81989467 2.905884 46.976504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81996009-0.81989467) × R
    6.54199999999827e-05 × 6371000     		dl = 416.79081999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81996009-0.81989467) × R
    6.54199999999827e-05 × 6371000     		dr = 416.79081999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05062137-0.05071724) × cos(0.81996009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682250386774346 × 6371000     		do = 416.710192319531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05062137-0.05071724) × cos(0.81989467) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.682298215093296 × 6371000     		du = 416.739405271805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81996009)-sin(0.81989467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682250386774346-0.682298215093296)×R²
    abs(0.05071724-0.05062137)×4.78283189492279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78283189492279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78283189492279e-05×40589641000000     		ar = 173687.070666178m²