Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33297 / 23055
↖ ↑ ↗
← N 46.984000°
E  2.905884°		 ← 416.68 m → N 46.984000°
E  2.911377°		 →
↑
416.66 m
↓
↑
416.66 m
↓
N 46.980253°
E  2.905884°		 ← 416.71 m →
173 622 m²		 N 46.980253°
E  2.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508079528808594 y=0.351799011230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508079528808594 × 216)
    floor (0.508079528808594 × 65536)
    floor (33297.5)     		tx = 33297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351799011230469 × 216)
    floor (0.351799011230469 × 65536)
    floor (23055.5)     		ty = 23055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33297 / 23055 ti = "16/33297/23055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33297/23055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33297 ÷ 216
    33297 ÷ 65536     		x = 0.508071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23055 ÷ 216
    23055 ÷ 65536     		y = 0.351791381835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508071899414062 × 2 - 1) × π
    0.016143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05071724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351791381835938 × 2 - 1) × π
    0.296417236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.931222212019211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05071724} λ = 0.05071724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.931222212019211))-π/2
    2×atan(2.53760877899672)-π/2
    2×1.19541091071875-π/2
    2.3908218214375-1.57079632675     		φ = 0.82002549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05071724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82002549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.984000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33297 KachelY 23055 0.05071724 0.82002549 2.905884 46.984000
    Oben rechts KachelX + 1 33298 KachelY 23055 0.05081311 0.82002549 2.911377 46.984000
    Unten links KachelX 33297 KachelY + 1 23056 0.05071724 0.81996009 2.905884 46.980253
    Unten rechts KachelX + 1 33298 KachelY + 1 23056 0.05081311 0.81996009 2.911377 46.980253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82002549-0.81996009) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dl = 416.663399999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82002549-0.81996009) × R
    6.53999999999932e-05 × 6371000     		dr = 416.663399999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05071724-0.05081311) × cos(0.82002549) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.682202570158783 × 6371000     		do = 416.680986515572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05071724-0.05081311) × cos(0.81996009) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.682250386774346 × 6371000     		du = 416.710192319562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82002549)-sin(0.81996009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682202570158783-0.682250386774346)×R²
    abs(0.05081311-0.05071724)×4.7816615563856e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.7816615563856e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.7816615563856e-05×40589641000000     		ar = 173621.80111354m²