Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33311 / 23072
↖ ↑ ↗
← N 46.920255°
E  2.982788°		 ← 417.22 m → N 46.920255°
E  2.988281°		 →
↑
417.17 m
↓
↑
417.17 m
↓
N 46.916504°
E  2.982788°		 ← 417.25 m →
174 060 m²		 N 46.916504°
E  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508293151855469 y=0.352058410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508293151855469 × 216)
    floor (0.508293151855469 × 65536)
    floor (33311.5)     		tx = 33311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352058410644531 × 216)
    floor (0.352058410644531 × 65536)
    floor (23072.5)     		ty = 23072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33311 / 23072 ti = "16/33311/23072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33311/23072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33311 ÷ 216
    33311 ÷ 65536     		x = 0.508285522460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23072 ÷ 216
    23072 ÷ 65536     		y = 0.35205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508285522460938 × 2 - 1) × π
    0.016571044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05205947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35205078125 × 2 - 1) × π
    0.2958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.929592357432129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05205947} λ = 0.05205947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929592357432129))-π/2
    2×atan(2.5334762143426)-π/2
    2×1.1948546339532-π/2
    2.3897092679064-1.57079632675     		φ = 0.81891294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05205947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.982788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81891294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.920255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33311 KachelY 23072 0.05205947 0.81891294 2.982788 46.920255
    Oben rechts KachelX + 1 33312 KachelY 23072 0.05215535 0.81891294 2.988281 46.920255
    Unten links KachelX 33311 KachelY + 1 23073 0.05205947 0.81884746 2.982788 46.916504
    Unten rechts KachelX + 1 33312 KachelY + 1 23073 0.05215535 0.81884746 2.988281 46.916504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81891294-0.81884746) × R
    6.54800000000622e-05 × 6371000     		dl = 417.173080000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81891294-0.81884746) × R
    6.54800000000622e-05 × 6371000     		dr = 417.173080000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05205947-0.05215535) × cos(0.81891294) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.68301560342657 × 6371000     		do = 417.221092216242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05205947-0.05215535) × cos(0.81884746) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.683063428801954 × 6371000     		du = 417.250306417577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81891294)-sin(0.81884746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68301560342657-0.683063428801954)×R²
    abs(0.05215535-0.05205947)×4.78253753840585e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.78253753840585e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.78253753840585e-05×40589641000000     		ar = 174059.501831974m²