Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33314 / 22050
↖ ↑ ↗
← N 50.618103°
E  2.999267°		 ← 387.58 m → N 50.618103°
E  3.004761°		 →
↑
387.61 m
↓
↑
387.61 m
↓
N 50.614617°
E  2.999267°		 ← 387.61 m →
150 235 m²		 N 50.614617°
E  3.004761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33314 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508338928222656 y=0.336463928222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508338928222656 × 216)
    floor (0.508338928222656 × 65536)
    floor (33314.5)     		tx = 33314
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336463928222656 × 216)
    floor (0.336463928222656 × 65536)
    floor (22050.5)     		ty = 22050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33314 / 22050 ti = "16/33314/22050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33314/22050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33314 ÷ 216
    33314 ÷ 65536     		x = 0.508331298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22050 ÷ 216
    22050 ÷ 65536     		y = 0.336456298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508331298828125 × 2 - 1) × π
    0.01666259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05234709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336456298828125 × 2 - 1) × π
    0.32708740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02757538025552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05234709} λ = 0.05234709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02757538025552))-π/2
    2×atan(2.79428254194658)-π/2
    2×1.22712444179025-π/2
    2.45424888358051-1.57079632675     		φ = 0.88345256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05234709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.999267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88345256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.618103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33314 KachelY 22050 0.05234709 0.88345256 2.999267 50.618103
    Oben rechts KachelX + 1 33315 KachelY 22050 0.05244297 0.88345256 3.004761 50.618103
    Unten links KachelX 33314 KachelY + 1 22051 0.05234709 0.88339172 2.999267 50.614617
    Unten rechts KachelX + 1 33315 KachelY + 1 22051 0.05244297 0.88339172 3.004761 50.614617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88345256-0.88339172) × R
    6.0840000000062e-05 × 6371000     		dl = 387.611640000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88345256-0.88339172) × R
    6.0840000000062e-05 × 6371000     		dr = 387.611640000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05234709-0.05244297) × cos(0.88345256) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.634486329790104 × 6371000     		do = 387.576913592051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05234709-0.05244297) × cos(0.88339172) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.634533353925433 × 6371000     		du = 387.605638354713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88345256)-sin(0.88339172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634486329790104-0.634533353925433)×R²
    abs(0.05244297-0.05234709)×4.70241353287548e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.70241353287548e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.70241353287548e-05×40589641000000     		ar = 150234.890176321m²