Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33320 / 23080
↖ ↑ ↗
← N 46.890232°
E  3.032227°		 ← 417.41 m → N 46.890232°
E  3.037720°		 →
↑
417.43 m
↓
↑
417.43 m
↓
N 46.886478°
E  3.032227°		 ← 417.44 m →
174 245 m²		 N 46.886478°
E  3.037720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508430480957031 y=0.352180480957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508430480957031 × 216)
    floor (0.508430480957031 × 65536)
    floor (33320.5)     		tx = 33320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352180480957031 × 216)
    floor (0.352180480957031 × 65536)
    floor (23080.5)     		ty = 23080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33320 / 23080 ti = "16/33320/23080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33320/23080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33320 ÷ 216
    33320 ÷ 65536     		x = 0.5084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23080 ÷ 216
    23080 ÷ 65536     		y = 0.3521728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5084228515625 × 2 - 1) × π
    0.016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05292234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3521728515625 × 2 - 1) × π
    0.295654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.928825367038208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05292234} λ = 0.05292234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928825367038208))-π/2
    2×atan(2.53153380742192)-π/2
    2×1.19459262737929-π/2
    2.38918525475857-1.57079632675     		φ = 0.81838893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05292234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.032227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81838893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.890232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33320 KachelY 23080 0.05292234 0.81838893 3.032227 46.890232
    Oben rechts KachelX + 1 33321 KachelY 23080 0.05301821 0.81838893 3.037720 46.890232
    Unten links KachelX 33320 KachelY + 1 23081 0.05292234 0.81832341 3.032227 46.886478
    Unten rechts KachelX + 1 33321 KachelY + 1 23081 0.05301821 0.81832341 3.037720 46.886478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81838893-0.81832341) × R
    6.55200000000411e-05 × 6371000     		dl = 417.427920000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81838893-0.81832341) × R
    6.55200000000411e-05 × 6371000     		dr = 417.427920000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05292234-0.05301821) × cos(0.81838893) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.683398248521694 × 6371000     		do = 417.411292236492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05292234-0.05301821) × cos(0.81832341) × R
    9.58700000000048e-05 × 0.683446079653982 × 6371000     		du = 417.440506907119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81838893)-sin(0.81832341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683398248521694-0.683446079653982)×R²
    abs(0.05301821-0.05292234)×4.78311322882341e-05×R²
    9.58700000000048e-05×4.78311322882341e-05×6371000²
    9.58700000000048e-05×4.78311322882341e-05×40589641000000     		ar = 174245.225074764m²