Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33346 / 23106
↖ ↑ ↗
← N 46.792538°
E  3.175049°		 ← 418.17 m → N 46.792538°
E  3.180542°		 →
↑
418.19 m
↓
↑
418.19 m
↓
N 46.788777°
E  3.175049°		 ← 418.20 m →
174 882 m²		 N 46.788777°
E  3.180542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508827209472656 y=0.352577209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508827209472656 × 216)
    floor (0.508827209472656 × 65536)
    floor (33346.5)     		tx = 33346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352577209472656 × 216)
    floor (0.352577209472656 × 65536)
    floor (23106.5)     		ty = 23106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33346 / 23106 ti = "16/33346/23106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33346/23106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33346 ÷ 216
    33346 ÷ 65536     		x = 0.508819580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23106 ÷ 216
    23106 ÷ 65536     		y = 0.352569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508819580078125 × 2 - 1) × π
    0.01763916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05541506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.352569580078125 × 2 - 1) × π
    0.29486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.926332648257965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05541506} λ = 0.05541506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926332648257965))-π/2
    2×atan(2.52523126405493)-π/2
    2×1.19374009248-π/2
    2.38748018496-1.57079632675     		φ = 0.81668386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05541506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.175049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81668386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.792538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33346 KachelY 23106 0.05541506 0.81668386 3.175049 46.792538
    Oben rechts KachelX + 1 33347 KachelY 23106 0.05551093 0.81668386 3.180542 46.792538
    Unten links KachelX 33346 KachelY + 1 23107 0.05541506 0.81661822 3.175049 46.788777
    Unten rechts KachelX + 1 33347 KachelY + 1 23107 0.05551093 0.81661822 3.180542 46.788777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81668386-0.81661822) × R
    6.5640000000089e-05 × 6371000     		dl = 418.192440000567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81668386-0.81661822) × R
    6.5640000000089e-05 × 6371000     		dr = 418.192440000567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05541506-0.05551093) × cos(0.81668386) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684642033659278 × 6371000     		do = 418.170980987006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05541506-0.05551093) × cos(0.81661822) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.684689875832905 × 6371000     		du = 418.200202401548m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81668386)-sin(0.81661822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684642033659278-0.684689875832905)×R²
    abs(0.05551093-0.05541506)×4.78421736270773e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78421736270773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78421736270773e-05×40589641000000     		ar = 174882.053026418m²