Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33408 / 23424
↖ ↑ ↗
← N 45.583290°
E  3.515625°		 ← 427.52 m → N 45.583290°
E  3.521118°		 →
↑
427.49 m
↓
↑
427.49 m
↓
N 45.579445°
E  3.515625°		 ← 427.55 m →
182 768 m²		 N 45.579445°
E  3.521118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509773254394531 y=0.357429504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509773254394531 × 216)
    floor (0.509773254394531 × 65536)
    floor (33408.5)     		tx = 33408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.357429504394531 × 216)
    floor (0.357429504394531 × 65536)
    floor (23424.5)     		ty = 23424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33408 / 23424 ti = "16/33408/23424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33408/23424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33408 ÷ 216
    33408 ÷ 65536     		x = 0.509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23424 ÷ 216
    23424 ÷ 65536     		y = 0.357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509765625 × 2 - 1) × π
    0.01953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06135923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.357421875 × 2 - 1) × π
    0.28515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.895844780099609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06135923} λ = 0.06135923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.895844780099609))-π/2
    2×atan(2.44940412355505)-π/2
    2×1.18318740845494-π/2
    2.36637481690989-1.57079632675     		φ = 0.79557849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06135923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.79557849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.583290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33408 KachelY 23424 0.06135923 0.79557849 3.515625 45.583290
    Oben rechts KachelX + 1 33409 KachelY 23424 0.06145511 0.79557849 3.521118 45.583290
    Unten links KachelX 33408 KachelY + 1 23425 0.06135923 0.79551139 3.515625 45.579445
    Unten rechts KachelX + 1 33409 KachelY + 1 23425 0.06145511 0.79551139 3.521118 45.579445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.79557849-0.79551139) × R
    6.70999999999866e-05 × 6371000     		dl = 427.494099999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.79557849-0.79551139) × R
    6.70999999999866e-05 × 6371000     		dr = 427.494099999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06135923-0.06145511) × cos(0.79557849) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.699871685931871 × 6371000     		do = 427.517655161576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06135923-0.06145511) × cos(0.79551139) × R
    9.58799999999996e-05 × 0.699919611778884 × 6371000     		du = 427.546930736155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.79557849)-sin(0.79551139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699871685931871-0.699919611778884)×R²
    abs(0.06145511-0.06135923)×4.7925847013075e-05×R²
    9.58799999999996e-05×4.7925847013075e-05×6371000²
    9.58799999999996e-05×4.7925847013075e-05×40589641000000     		ar = 182767.532863361m²