Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33409 / 23167
↖ ↑ ↗
← N 46.562637°
E  3.521118°		 ← 419.95 m → N 46.562637°
E  3.526611°		 →
↑
419.98 m
↓
↑
419.98 m
↓
N 46.558860°
E  3.521118°		 ← 419.98 m →
176 377 m²		 N 46.558860°
E  3.526611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509788513183594 y=0.353507995605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509788513183594 × 216)
    floor (0.509788513183594 × 65536)
    floor (33409.5)     		tx = 33409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353507995605469 × 216)
    floor (0.353507995605469 × 65536)
    floor (23167.5)     		ty = 23167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33409 / 23167 ti = "16/33409/23167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33409/23167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33409 ÷ 216
    33409 ÷ 65536     		x = 0.509780883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23167 ÷ 216
    23167 ÷ 65536     		y = 0.353500366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509780883789062 × 2 - 1) × π
    0.019561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06145511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353500366210938 × 2 - 1) × π
    0.292999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.920484346504318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06145511} λ = 0.06145511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920484346504318))-π/2
    2×atan(2.51050605034165)-π/2
    2×1.19173382821898-π/2
    2.38346765643795-1.57079632675     		φ = 0.81267133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06145511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.521118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81267133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.562637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33409 KachelY 23167 0.06145511 0.81267133 3.521118 46.562637
    Oben rechts KachelX + 1 33410 KachelY 23167 0.06155098 0.81267133 3.526611 46.562637
    Unten links KachelX 33409 KachelY + 1 23168 0.06145511 0.81260541 3.521118 46.558860
    Unten rechts KachelX + 1 33410 KachelY + 1 23168 0.06155098 0.81260541 3.526611 46.558860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81267133-0.81260541) × R
    6.59200000000526e-05 × 6371000     		dl = 419.976320000335m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81267133-0.81260541) × R
    6.59200000000526e-05 × 6371000     		dr = 419.976320000335m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06145511-0.06155098) × cos(0.81267133) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687561165065057 × 6371000     		do = 419.953950748679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06145511-0.06155098) × cos(0.81260541) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687609029827766 × 6371000     		du = 419.983185960356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81267133)-sin(0.81260541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687561165065057-0.687609029827766)×R²
    abs(0.06155098-0.06145511)×4.78647627090156e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78647627090156e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78647627090156e-05×40589641000000     		ar = 176376.853917147m²