Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33409 / 23169
↖ ↑ ↗
← N 46.555083°
E  3.521118°		 ← 420.01 m → N 46.555083°
E  3.526611°		 →
↑
420.04 m
↓
↑
420.04 m
↓
N 46.551305°
E  3.521118°		 ← 420.04 m →
176 428 m²		 N 46.551305°
E  3.526611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509788513183594 y=0.353538513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509788513183594 × 216)
    floor (0.509788513183594 × 65536)
    floor (33409.5)     		tx = 33409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353538513183594 × 216)
    floor (0.353538513183594 × 65536)
    floor (23169.5)     		ty = 23169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33409 / 23169 ti = "16/33409/23169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33409/23169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33409 ÷ 216
    33409 ÷ 65536     		x = 0.509780883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23169 ÷ 216
    23169 ÷ 65536     		y = 0.353530883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.509780883789062 × 2 - 1) × π
    0.019561767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06145511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353530883789062 × 2 - 1) × π
    0.292938232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.920292598905838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06145511} λ = 0.06145511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.920292598905838))-π/2
    2×atan(2.51002471298464)-π/2
    2×1.19166790452877-π/2
    2.38333580905753-1.57079632675     		φ = 0.81253948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06145511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.521118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81253948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.555083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33409 KachelY 23169 0.06145511 0.81253948 3.521118 46.555083
    Oben rechts KachelX + 1 33410 KachelY 23169 0.06155098 0.81253948 3.526611 46.555083
    Unten links KachelX 33409 KachelY + 1 23170 0.06145511 0.81247355 3.521118 46.551305
    Unten rechts KachelX + 1 33410 KachelY + 1 23170 0.06155098 0.81247355 3.526611 46.551305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81253948-0.81247355) × R
    6.59299999999918e-05 × 6371000     		dl = 420.040029999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81253948-0.81247355) × R
    6.59299999999918e-05 × 6371000     		dr = 420.040029999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06145511-0.06155098) × cos(0.81253948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687656898862865 × 6371000     		do = 420.012423781556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06145511-0.06155098) × cos(0.81247355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.687704764908881 × 6371000     		du = 420.04165977706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81253948)-sin(0.81247355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.687656898862865-0.687704764908881)×R²
    abs(0.06155098-0.06145511)×4.78660460159208e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78660460159208e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78660460159208e-05×40589641000000     		ar = 176428.171293668m²