Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33424 / 23184
↖ ↑ ↗
← N 46.498392°
E  3.603515°		 ← 420.49 m → N 46.498392°
E  3.609009°		 →
↑
420.49 m
↓
↑
420.49 m
↓
N 46.494611°
E  3.603515°		 ← 420.52 m →
176 818 m²		 N 46.494611°
E  3.609009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.510017395019531 y=0.353767395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.510017395019531 × 216)
    floor (0.510017395019531 × 65536)
    floor (33424.5)     		tx = 33424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353767395019531 × 216)
    floor (0.353767395019531 × 65536)
    floor (23184.5)     		ty = 23184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33424 / 23184 ti = "16/33424/23184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33424/23184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33424 ÷ 216
    33424 ÷ 65536     		x = 0.510009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23184 ÷ 216
    23184 ÷ 65536     		y = 0.353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.510009765625 × 2 - 1) × π
    0.02001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.06289321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353759765625 × 2 - 1) × π
    0.29248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.918854491917236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.06289321} λ = 0.06289321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.918854491917236))-π/2
    2×atan(2.50641762321551)-π/2
    2×1.19117318428659-π/2
    2.38234636857319-1.57079632675     		φ = 0.81155004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.06289321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.603515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81155004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.498392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33424 KachelY 23184 0.06289321 0.81155004 3.603515 46.498392
    Oben rechts KachelX + 1 33425 KachelY 23184 0.06298909 0.81155004 3.609009 46.498392
    Unten links KachelX 33424 KachelY + 1 23185 0.06289321 0.81148404 3.603515 46.494611
    Unten rechts KachelX + 1 33425 KachelY + 1 23185 0.06298909 0.81148404 3.609009 46.494611
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81155004-0.81148404) × R
    6.60000000000105e-05 × 6371000     		dl = 420.486000000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81155004-0.81148404) × R
    6.60000000000105e-05 × 6371000     		dr = 420.486000000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.06289321-0.06298909) × cos(0.81155004) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.688374931006971 × 6371000     		do = 420.494845400474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.06289321-0.06298909) × cos(0.81148404) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.688422802941219 × 6371000     		du = 420.52408804236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81155004)-sin(0.81148404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688374931006971-0.688422802941219)×R²
    abs(0.06298909-0.06289321)×4.78719342486e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78719342486e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78719342486e-05×40589641000000     		ar = 176818.343687829m²