Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33536 / 23296
↖ ↑ ↗
← N 46.073231°
E  4.218750°		 ← 423.73 m → N 46.073231°
E  4.224243°		 →
↑
423.74 m
↓
↑
423.74 m
↓
N 46.069420°
E  4.218750°		 ← 423.76 m →
179 554 m²		 N 46.069420°
E  4.224243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511726379394531 y=0.355476379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511726379394531 × 216)
    floor (0.511726379394531 × 65536)
    floor (33536.5)     		tx = 33536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355476379394531 × 216)
    floor (0.355476379394531 × 65536)
    floor (23296.5)     		ty = 23296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33536 / 23296 ti = "16/33536/23296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33536/23296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33536 ÷ 216
    33536 ÷ 65536     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23296 ÷ 216
    23296 ÷ 65536     		y = 0.35546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35546875 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.908116626402344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.908116626402344))-π/2
    2×atan(2.47964802921798)-π/2
    2×1.18746294911048-π/2
    2.37492589822095-1.57079632675     		φ = 0.80412957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80412957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.073231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33536 KachelY 23296 0.07363108 0.80412957 4.218750 46.073231
    Oben rechts KachelX + 1 33537 KachelY 23296 0.07372695 0.80412957 4.224243 46.073231
    Unten links KachelX 33536 KachelY + 1 23297 0.07363108 0.80406306 4.218750 46.069420
    Unten rechts KachelX + 1 33537 KachelY + 1 23297 0.07372695 0.80406306 4.224243 46.069420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80412957-0.80406306) × R
    6.65099999999086e-05 × 6371000     		dl = 423.735209999418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80412957-0.80406306) × R
    6.65099999999086e-05 × 6371000     		dr = 423.735209999418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07372695) × cos(0.80412957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693738404991914 × 6371000     		do = 423.726933348359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07372695) × cos(0.80406306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.693786305759581 × 6371000     		du = 423.756190551423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80412957)-sin(0.80406306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693738404991914-0.693786305759581)×R²
    abs(0.07372695-0.07363108)×4.79007676670307e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.79007676670307e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.79007676670307e-05×40589641000000     		ar = 179554.219804159m²