Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33537 / 21759
↖ ↑ ↗
← N 51.621427°
E  4.224243°		 ← 379.25 m → N 51.621427°
E  4.229737°		 →
↑
379.27 m
↓
↑
379.27 m
↓
N 51.618016°
E  4.224243°		 ← 379.28 m →
143 842 m²		 N 51.618016°
E  4.229737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511741638183594 y=0.332023620605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511741638183594 × 216)
    floor (0.511741638183594 × 65536)
    floor (33537.5)     		tx = 33537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332023620605469 × 216)
    floor (0.332023620605469 × 65536)
    floor (21759.5)     		ty = 21759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33537 / 21759 ti = "16/33537/21759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33537/21759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33537 ÷ 216
    33537 ÷ 65536     		x = 0.511734008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21759 ÷ 216
    21759 ÷ 65536     		y = 0.332015991210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511734008789062 × 2 - 1) × π
    0.023468017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07372695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332015991210938 × 2 - 1) × π
    0.335968017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0554746558344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07372695} λ = 0.07372695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0554746558344))-π/2
    2×atan(2.87333867724094)-π/2
    2×1.23588009741634-π/2
    2.47176019483268-1.57079632675     		φ = 0.90096387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07372695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.224243°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90096387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.621427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33537 KachelY 21759 0.07372695 0.90096387 4.224243 51.621427
    Oben rechts KachelX + 1 33538 KachelY 21759 0.07382283 0.90096387 4.229737 51.621427
    Unten links KachelX 33537 KachelY + 1 21760 0.07372695 0.90090434 4.224243 51.618016
    Unten rechts KachelX + 1 33538 KachelY + 1 21760 0.07382283 0.90090434 4.229737 51.618016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90096387-0.90090434) × R
    5.95300000000298e-05 × 6371000     		dl = 379.26563000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90096387-0.90090434) × R
    5.95300000000298e-05 × 6371000     		dr = 379.26563000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07372695-0.07382283) × cos(0.90096387) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.620854654327279 × 6371000     		do = 379.249984460733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07372695-0.07382283) × cos(0.90090434) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.620901320323887 × 6371000     		du = 379.278490453826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90096387)-sin(0.90090434))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620854654327279-0.620901320323887)×R²
    abs(0.07382283-0.07372695)×4.66659966077421e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.66659966077421e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.66659966077421e-05×40589641000000     		ar = 143841.889998296m²