Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33540 / 23300
↖ ↑ ↗
← N 46.057985°
E  4.240722°		 ← 423.89 m → N 46.057985°
E  4.246216°		 →
↑
423.86 m
↓
↑
423.86 m
↓
N 46.054173°
E  4.240722°		 ← 423.92 m →
179 677 m²		 N 46.054173°
E  4.246216°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511787414550781 y=0.355537414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511787414550781 × 216)
    floor (0.511787414550781 × 65536)
    floor (33540.5)     		tx = 33540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.355537414550781 × 216)
    floor (0.355537414550781 × 65536)
    floor (23300.5)     		ty = 23300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33540 / 23300 ti = "16/33540/23300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33540/23300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33540 ÷ 216
    33540 ÷ 65536     		x = 0.51177978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23300 ÷ 216
    23300 ÷ 65536     		y = 0.35552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51177978515625 × 2 - 1) × π
    0.0235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07401457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35552978515625 × 2 - 1) × π
    0.2889404296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.907733131205383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07401457} λ = 0.07401457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.907733131205383))-π/2
    2×atan(2.47869727842446)-π/2
    2×1.18732990806675-π/2
    2.3746598161335-1.57079632675     		φ = 0.80386349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07401457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.240722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.80386349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.057985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33540 KachelY 23300 0.07401457 0.80386349 4.240722 46.057985
    Oben rechts KachelX + 1 33541 KachelY 23300 0.07411045 0.80386349 4.246216 46.057985
    Unten links KachelX 33540 KachelY + 1 23301 0.07401457 0.80379696 4.240722 46.054173
    Unten rechts KachelX + 1 33541 KachelY + 1 23301 0.07411045 0.80379696 4.246216 46.054173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.80386349-0.80379696) × R
    6.65300000000091e-05 × 6371000     		dl = 423.862630000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.80386349-0.80379696) × R
    6.65300000000091e-05 × 6371000     		dr = 423.862630000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07401457-0.07411045) × cos(0.80386349) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.693930018449317 × 6371000     		do = 423.88817878616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07401457-0.07411045) × cos(0.80379696) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.693977921337716 × 6371000     		du = 423.917440336435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.80386349)-sin(0.80379696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693930018449317-0.693977921337716)×R²
    abs(0.07411045-0.07401457)×4.79028883981769e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79028883981769e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79028883981769e-05×40589641000000     		ar = 179676.559791449m²