Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33552 / 22288
↖ ↑ ↗
← N 49.781264°
E  4.306641°		 ← 394.39 m → N 49.781264°
E  4.312134°		 →
↑
394.43 m
↓
↑
394.43 m
↓
N 49.777717°
E  4.306641°		 ← 394.42 m →
155 564 m²		 N 49.777717°
E  4.312134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22288 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511970520019531 y=0.340095520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511970520019531 × 216)
    floor (0.511970520019531 × 65536)
    floor (33552.5)     		tx = 33552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340095520019531 × 216)
    floor (0.340095520019531 × 65536)
    floor (22288.5)     		ty = 22288
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33552 / 22288 ti = "16/33552/22288"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33552/22288.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33552 ÷ 216
    33552 ÷ 65536     		x = 0.511962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22288 ÷ 216
    22288 ÷ 65536     		y = 0.340087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.511962890625 × 2 - 1) × π
    0.02392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.07516506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.340087890625 × 2 - 1) × π
    0.31982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00475741603638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07516506} λ = 0.07516506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00475741603638))-π/2
    2×atan(2.73124463630718)-π/2
    2×1.21982164519814-π/2
    2.43964329039628-1.57079632675     		φ = 0.86884696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07516506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.306641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86884696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.781264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33552 KachelY 22288 0.07516506 0.86884696 4.306641 49.781264
    Oben rechts KachelX + 1 33553 KachelY 22288 0.07526093 0.86884696 4.312134 49.781264
    Unten links KachelX 33552 KachelY + 1 22289 0.07516506 0.86878505 4.306641 49.777717
    Unten rechts KachelX + 1 33553 KachelY + 1 22289 0.07526093 0.86878505 4.312134 49.777717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86884696-0.86878505) × R
    6.19099999999984e-05 × 6371000     		dl = 394.42860999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86884696-0.86878505) × R
    6.19099999999984e-05 × 6371000     		dr = 394.42860999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07516506-0.07526093) × cos(0.86884696) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645707420233467 × 6371000     		do = 394.390195276844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07516506-0.07526093) × cos(0.86878505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.64575469253828 × 6371000     		du = 394.419068622483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86884696)-sin(0.86878505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645707420233467-0.64575469253828)×R²
    abs(0.07526093-0.07516506)×4.72723048124957e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72723048124957e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72723048124957e-05×40589641000000     		ar = 155564.4708071m²