Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33663 / 21633
↖ ↑ ↗
← N 52.049112°
E  4.916382°		 ← 375.63 m → N 52.049112°
E  4.921875°		 →
↑
375.63 m
↓
↑
375.63 m
↓
N 52.045734°
E  4.916382°		 ← 375.65 m →
141 103 m²		 N 52.045734°
E  4.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513664245605469 y=0.330101013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513664245605469 × 216)
    floor (0.513664245605469 × 65536)
    floor (33663.5)     		tx = 33663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330101013183594 × 216)
    floor (0.330101013183594 × 65536)
    floor (21633.5)     		ty = 21633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33663 / 21633 ti = "16/33663/21633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33663/21633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33663 ÷ 216
    33663 ÷ 65536     		x = 0.513656616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21633 ÷ 216
    21633 ÷ 65536     		y = 0.330093383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513656616210938 × 2 - 1) × π
    0.027313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.08580705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330093383789062 × 2 - 1) × π
    0.339813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06755475453865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08580705} λ = 0.08580705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06755475453865))-π/2
    2×atan(2.9082593902423)-π/2
    2×1.23961235532505-π/2
    2.47922471065009-1.57079632675     		φ = 0.90842838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08580705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.916382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90842838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.049112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33663 KachelY 21633 0.08580705 0.90842838 4.916382 52.049112
    Oben rechts KachelX + 1 33664 KachelY 21633 0.08590292 0.90842838 4.921875 52.049112
    Unten links KachelX 33663 KachelY + 1 21634 0.08580705 0.90836942 4.916382 52.045734
    Unten rechts KachelX + 1 33664 KachelY + 1 21634 0.08590292 0.90836942 4.921875 52.045734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90842838-0.90836942) × R
    5.89600000000523e-05 × 6371000     		dl = 375.634160000333m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90842838-0.90836942) × R
    5.89600000000523e-05 × 6371000     		dr = 375.634160000333m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08580705-0.08590292) × cos(0.90842838) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.61498579087279 × 6371000     		do = 375.62579978887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08580705-0.08590292) × cos(0.90836942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.615032282015511 × 6371000     		du = 375.654196010257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90842838)-sin(0.90836942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61498579087279-0.615032282015511)×R²
    abs(0.08590292-0.08580705)×4.64911427211501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.64911427211501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.64911427211501e-05×40589641000000     		ar = 141103.215114439m²