Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33680 / 21648
↖ ↑ ↗
← N 51.998411°
E  5.009765°		 ← 376.09 m → N 51.998411°
E  5.015259°		 →
↑
376.08 m
↓
↑
376.08 m
↓
N 51.995028°
E  5.009765°		 ← 376.12 m →
141 446 m²		 N 51.995028°
E  5.015259°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513923645019531 y=0.330329895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513923645019531 × 216)
    floor (0.513923645019531 × 65536)
    floor (33680.5)     		tx = 33680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330329895019531 × 216)
    floor (0.330329895019531 × 65536)
    floor (21648.5)     		ty = 21648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33680 / 21648 ti = "16/33680/21648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33680/21648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33680 ÷ 216
    33680 ÷ 65536     		x = 0.513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21648 ÷ 216
    21648 ÷ 65536     		y = 0.330322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513916015625 × 2 - 1) × π
    0.02783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08743690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330322265625 × 2 - 1) × π
    0.33935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06611664755005
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08743690} λ = 0.08743690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06611664755005))-π/2
    2×atan(2.90408000800823)-π/2
    2×1.23916989687603-π/2
    2.47833979375205-1.57079632675     		φ = 0.90754347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08743690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.009765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90754347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.998411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33680 KachelY 21648 0.08743690 0.90754347 5.009765 51.998411
    Oben rechts KachelX + 1 33681 KachelY 21648 0.08753278 0.90754347 5.015259 51.998411
    Unten links KachelX 33680 KachelY + 1 21649 0.08743690 0.90748444 5.009765 51.995028
    Unten rechts KachelX + 1 33681 KachelY + 1 21649 0.08753278 0.90748444 5.015259 51.995028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90754347-0.90748444) × R
    5.9030000000071e-05 × 6371000     		dl = 376.080130000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90754347-0.90748444) × R
    5.9030000000071e-05 × 6371000     		dr = 376.080130000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08743690-0.08753278) × cos(0.90754347) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.615683335324272 × 6371000     		do = 376.091076594194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08743690-0.08753278) × cos(0.90748444) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.615729849518147 × 6371000     		du = 376.119489858363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90754347)-sin(0.90748444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615683335324272-0.615729849518147)×R²
    abs(0.08753278-0.08743690)×4.65141938751357e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.65141938751357e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.65141938751357e-05×40589641000000     		ar = 141445.723850411m²