Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33792 / 21504
↖ ↑ ↗
← N 52.482780°
E  5.625000°		 ← 371.97 m → N 52.482780°
E  5.630493°		 →
↑
372 m
↓
↑
372 m
↓
N 52.479435°
E  5.625000°		 ← 372 m →
138 379 m²		 N 52.479435°
E  5.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515632629394531 y=0.328132629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515632629394531 × 216)
    floor (0.515632629394531 × 65536)
    floor (33792.5)     		tx = 33792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328132629394531 × 216)
    floor (0.328132629394531 × 65536)
    floor (21504.5)     		ty = 21504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33792 / 21504 ti = "16/33792/21504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33792/21504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33792 ÷ 216
    33792 ÷ 65536     		x = 0.515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21504 ÷ 216
    21504 ÷ 65536     		y = 0.328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515625 × 2 - 1) × π
    0.03125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328125 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07992247464063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09817477} λ = 0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07992247464063))-π/2
    2×atan(2.94445127257388)-π/2
    2×1.24339682112596-π/2
    2.48679364225192-1.57079632675     		φ = 0.91599732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91599732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.482780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33792 KachelY 21504 0.09817477 0.91599732 5.625000 52.482780
    Oben rechts KachelX + 1 33793 KachelY 21504 0.09827064 0.91599732 5.630493 52.482780
    Unten links KachelX 33792 KachelY + 1 21505 0.09817477 0.91593893 5.625000 52.479435
    Unten rechts KachelX + 1 33793 KachelY + 1 21505 0.09827064 0.91593893 5.630493 52.479435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91599732-0.91593893) × R
    5.83899999999637e-05 × 6371000     		dl = 372.002689999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91599732-0.91593893) × R
    5.83899999999637e-05 × 6371000     		dr = 372.002689999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09817477-0.09827064) × cos(0.91599732) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.608999833781129 × 6371000     		do = 371.969650405592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09817477-0.09827064) × cos(0.91593893) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.609046145959618 × 6371000     		du = 371.997937317815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91599732)-sin(0.91593893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608999833781129-0.609046145959618)×R²
    abs(0.09827064-0.09817477)×4.63121784892717e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.63121784892717e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.63121784892717e-05×40589641000000     		ar = 138378.971992334m²