Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33858 / 22082
↖ ↑ ↗
← N 50.506440°
E  5.987549°		 ← 388.46 m → N 50.506440°
E  5.993042°		 →
↑
388.50 m
↓
↑
388.50 m
↓
N 50.502946°
E  5.987549°		 ← 388.48 m →
150 922 m²		 N 50.502946°
E  5.993042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33858 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516639709472656 y=0.336952209472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516639709472656 × 216)
    floor (0.516639709472656 × 65536)
    floor (33858.5)     		tx = 33858
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336952209472656 × 216)
    floor (0.336952209472656 × 65536)
    floor (22082.5)     		ty = 22082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33858 / 22082 ti = "16/33858/22082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33858/22082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33858 ÷ 216
    33858 ÷ 65536     		x = 0.516632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22082 ÷ 216
    22082 ÷ 65536     		y = 0.336944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.516632080078125 × 2 - 1) × π
    0.03326416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.10450244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336944580078125 × 2 - 1) × π
    0.32611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.02450741867984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10450244} λ = 0.10450244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02450741867984))-π/2
    2×atan(2.78572292747431)-π/2
    2×1.22614999765346-π/2
    2.45229999530693-1.57079632675     		φ = 0.88150367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10450244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.987549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88150367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.506440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33858 KachelY 22082 0.10450244 0.88150367 5.987549 50.506440
    Oben rechts KachelX + 1 33859 KachelY 22082 0.10459831 0.88150367 5.993042 50.506440
    Unten links KachelX 33858 KachelY + 1 22083 0.10450244 0.88144269 5.987549 50.502946
    Unten rechts KachelX + 1 33859 KachelY + 1 22083 0.10459831 0.88144269 5.993042 50.502946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88150367-0.88144269) × R
    6.09799999999883e-05 × 6371000     		dl = 388.503579999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88150367-0.88144269) × R
    6.09799999999883e-05 × 6371000     		dr = 388.503579999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10450244-0.10459831) × cos(0.88150367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.635991487398567 × 6371000     		do = 388.455822327146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10450244-0.10459831) × cos(0.88144269) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.636038544242539 × 6371000     		du = 388.484564071938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88150367)-sin(0.88144269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635991487398567-0.636038544242539)×R²
    abs(0.10459831-0.10450244)×4.70568439714381e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70568439714381e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70568439714381e-05×40589641000000     		ar = 150922.060827907m²