Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33922 / 21634
↖ ↑ ↗
← N 52.045734°
E  6.339111°		 ← 375.69 m → N 52.045734°
E  6.344605°		 →
↑
375.70 m
↓
↑
375.70 m
↓
N 52.042355°
E  6.339111°		 ← 375.72 m →
141 153 m²		 N 52.042355°
E  6.344605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517616271972656 y=0.330116271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517616271972656 × 216)
    floor (0.517616271972656 × 65536)
    floor (33922.5)     		tx = 33922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330116271972656 × 216)
    floor (0.330116271972656 × 65536)
    floor (21634.5)     		ty = 21634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33922 / 21634 ti = "16/33922/21634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33922/21634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33922 ÷ 216
    33922 ÷ 65536     		x = 0.517608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21634 ÷ 216
    21634 ÷ 65536     		y = 0.330108642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.517608642578125 × 2 - 1) × π
    0.03521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11063836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330108642578125 × 2 - 1) × π
    0.33978271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06745888073941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11063836} λ = 0.11063836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06745888073941))-π/2
    2×atan(2.907980577731)-π/2
    2×1.23958287369869-π/2
    2.47916574739738-1.57079632675     		φ = 0.90836942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11063836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.339111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90836942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.045734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33922 KachelY 21634 0.11063836 0.90836942 6.339111 52.045734
    Oben rechts KachelX + 1 33923 KachelY 21634 0.11073424 0.90836942 6.344605 52.045734
    Unten links KachelX 33922 KachelY + 1 21635 0.11063836 0.90831045 6.339111 52.042355
    Unten rechts KachelX + 1 33923 KachelY + 1 21635 0.11073424 0.90831045 6.344605 52.042355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90836942-0.90831045) × R
    5.89699999999915e-05 × 6371000     		dl = 375.697869999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90836942-0.90831045) × R
    5.89699999999915e-05 × 6371000     		dr = 375.697869999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11063836-0.11073424) × cos(0.90836942) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.615032282015511 × 6371000     		do = 375.693379716924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11063836-0.11073424) × cos(0.90831045) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.615078778904864 × 6371000     		du = 375.7217824106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90836942)-sin(0.90831045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.615032282015511-0.615078778904864)×R²
    abs(0.11073424-0.11063836)×4.6496889352432e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.6496889352432e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.6496889352432e-05×40589641000000     		ar = 141152.537989525m²