Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 33956 / 21988
↖ ↑ ↗
← N 50.833698°
E  6.525879°		 ← 385.80 m → N 50.833698°
E  6.531372°		 →
↑
385.83 m
↓
↑
385.83 m
↓
N 50.830228°
E  6.525879°		 ← 385.83 m →
148 857 m²		 N 50.830228°
E  6.531372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518135070800781 y=0.335517883300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518135070800781 × 216)
    floor (0.518135070800781 × 65536)
    floor (33956.5)     		tx = 33956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335517883300781 × 216)
    floor (0.335517883300781 × 65536)
    floor (21988.5)     		ty = 21988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33956 / 21988 ti = "16/33956/21988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33956/21988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33956 ÷ 216
    33956 ÷ 65536     		x = 0.51812744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21988 ÷ 216
    21988 ÷ 65536     		y = 0.33551025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51812744140625 × 2 - 1) × π
    0.0362548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11389807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33551025390625 × 2 - 1) × π
    0.3289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03351955580841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11389807} λ = 0.11389807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03351955580841))-π/2
    2×atan(2.81094171138231)-π/2
    2×1.22900586104911-π/2
    2.45801172209823-1.57079632675     		φ = 0.88721540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11389807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.525879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88721540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.833698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33956 KachelY 21988 0.11389807 0.88721540 6.525879 50.833698
    Oben rechts KachelX + 1 33957 KachelY 21988 0.11399395 0.88721540 6.531372 50.833698
    Unten links KachelX 33956 KachelY + 1 21989 0.11389807 0.88715484 6.525879 50.830228
    Unten rechts KachelX + 1 33957 KachelY + 1 21989 0.11399395 0.88715484 6.531372 50.830228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88721540-0.88715484) × R
    6.05599999999873e-05 × 6371000     		dl = 385.827759999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88721540-0.88715484) × R
    6.05599999999873e-05 × 6371000     		dr = 385.827759999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11389807-0.11399395) × cos(0.88721540) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.631573417537511 × 6371000     		do = 385.797556831417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11389807-0.11399395) × cos(0.88715484) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.631620369520914 × 6371000     		du = 385.826237519968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88721540)-sin(0.88715484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631573417537511-0.631620369520914)×R²
    abs(0.11399395-0.11389807)×4.69519834035426e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69519834035426e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69519834035426e-05×40589641000000     		ar = 148856.940114425m²