Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 33985 / 21823
↖ ↑ ↗
← N 51.402632°
E  6.685180°		 ← 381.08 m → N 51.402632°
E  6.690674°		 →
↑
381.05 m
↓
↑
381.05 m
↓
N 51.399206°
E  6.685180°		 ← 381.10 m →
145 214 m²		 N 51.399206°
E  6.690674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 33985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518577575683594 y=0.333000183105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518577575683594 × 216)
    floor (0.518577575683594 × 65536)
    floor (33985.5)     		tx = 33985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333000183105469 × 216)
    floor (0.333000183105469 × 65536)
    floor (21823.5)     		ty = 21823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 33985 / 21823 ti = "16/33985/21823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/33985/21823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 33985 ÷ 216
    33985 ÷ 65536     		x = 0.518569946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21823 ÷ 216
    21823 ÷ 65536     		y = 0.332992553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.518569946289062 × 2 - 1) × π
    0.037139892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11667841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332992553710938 × 2 - 1) × π
    0.334014892578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04933873268303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11667841} λ = 0.11667841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04933873268303))-π/2
    2×atan(2.85576207142672)-π/2
    2×1.23397075542277-π/2
    2.46794151084554-1.57079632675     		φ = 0.89714518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11667841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.685180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89714518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.402632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 33985 KachelY 21823 0.11667841 0.89714518 6.685180 51.402632
    Oben rechts KachelX + 1 33986 KachelY 21823 0.11677429 0.89714518 6.690674 51.402632
    Unten links KachelX 33985 KachelY + 1 21824 0.11667841 0.89708537 6.685180 51.399206
    Unten rechts KachelX + 1 33986 KachelY + 1 21824 0.11677429 0.89708537 6.690674 51.399206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89714518-0.89708537) × R
    5.98099999999935e-05 × 6371000     		dl = 381.049509999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89714518-0.89708537) × R
    5.98099999999935e-05 × 6371000     		dr = 381.049509999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11667841-0.11677429) × cos(0.89714518) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.623843689503186 × 6371000     		do = 381.075841021708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11667841-0.11677429) × cos(0.89708537) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.62389043284113 × 6371000     		du = 381.104394258871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89714518)-sin(0.89708537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623843689503186-0.62389043284113)×R²
    abs(0.11677429-0.11667841)×4.67433379431892e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.67433379431892e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.67433379431892e-05×40589641000000     		ar = 145214.202636126m²