Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34016 / 21920
↖ ↑ ↗
← N 51.069017°
E  6.855469°		 ← 383.85 m → N 51.069017°
E  6.860962°		 →
↑
383.85 m
↓
↑
383.85 m
↓
N 51.065565°
E  6.855469°		 ← 383.88 m →
147 347 m²		 N 51.065565°
E  6.860962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519050598144531 y=0.334480285644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519050598144531 × 216)
    floor (0.519050598144531 × 65536)
    floor (34016.5)     		tx = 34016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334480285644531 × 216)
    floor (0.334480285644531 × 65536)
    floor (21920.5)     		ty = 21920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34016 / 21920 ti = "16/34016/21920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34016/21920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34016 ÷ 216
    34016 ÷ 65536     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21920 ÷ 216
    21920 ÷ 65536     		y = 0.33447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33447265625 × 2 - 1) × π
    0.3310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.04003897415674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04003897415674))-π/2
    2×atan(2.82932728284772)-π/2
    2×1.23105940662107-π/2
    2.46211881324214-1.57079632675     		φ = 0.89132249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89132249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.069017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34016 KachelY 21920 0.11965050 0.89132249 6.855469 51.069017
    Oben rechts KachelX + 1 34017 KachelY 21920 0.11974638 0.89132249 6.860962 51.069017
    Unten links KachelX 34016 KachelY + 1 21921 0.11965050 0.89126224 6.855469 51.065565
    Unten rechts KachelX + 1 34017 KachelY + 1 21921 0.11974638 0.89126224 6.860962 51.065565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89132249-0.89126224) × R
    6.02499999999839e-05 × 6371000     		dl = 383.852749999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89132249-0.89126224) × R
    6.02499999999839e-05 × 6371000     		dr = 383.852749999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.11974638) × cos(0.89132249) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.628383806843492 × 6371000     		do = 383.849178418352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.11974638) × cos(0.89126224) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.628430674386324 × 6371000     		du = 383.877807526254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89132249)-sin(0.89126224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628383806843492-0.628430674386324)×R²
    abs(0.11974638-0.11965050)×4.68675428313414e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68675428313414e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68675428313414e-05×40589641000000     		ar = 147347.05744663m²