Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34033 / 21935
↖ ↑ ↗
← N 51.017211°
E  6.948853°		 ← 384.24 m → N 51.017211°
E  6.954346°		 →
↑
384.30 m
↓
↑
384.30 m
↓
N 51.013755°
E  6.948853°		 ← 384.27 m →
147 668 m²		 N 51.013755°
E  6.954346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519309997558594 y=0.334709167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519309997558594 × 216)
    floor (0.519309997558594 × 65536)
    floor (34033.5)     		tx = 34033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334709167480469 × 216)
    floor (0.334709167480469 × 65536)
    floor (21935.5)     		ty = 21935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34033 / 21935 ti = "16/34033/21935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34033/21935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34033 ÷ 216
    34033 ÷ 65536     		x = 0.519302368164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21935 ÷ 216
    21935 ÷ 65536     		y = 0.334701538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519302368164062 × 2 - 1) × π
    0.038604736328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12128036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334701538085938 × 2 - 1) × π
    0.330596923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03860086716814
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12128036} λ = 0.12128036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03860086716814))-π/2
    2×atan(2.82526133184624)-π/2
    2×1.23060731227484-π/2
    2.46121462454968-1.57079632675     		φ = 0.89041830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12128036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.948853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89041830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.017211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34033 KachelY 21935 0.12128036 0.89041830 6.948853 51.017211
    Oben rechts KachelX + 1 34034 KachelY 21935 0.12137623 0.89041830 6.954346 51.017211
    Unten links KachelX 34033 KachelY + 1 21936 0.12128036 0.89035798 6.948853 51.013755
    Unten rechts KachelX + 1 34034 KachelY + 1 21936 0.12137623 0.89035798 6.954346 51.013755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89041830-0.89035798) × R
    6.03200000000026e-05 × 6371000     		dl = 384.298720000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89041830-0.89035798) × R
    6.03200000000026e-05 × 6371000     		dr = 384.298720000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12128036-0.12137623) × cos(0.89041830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629086922405536 × 6371000     		do = 384.238598472232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12128036-0.12137623) × cos(0.89035798) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.629133810105984 × 6371000     		du = 384.267236906229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89041830)-sin(0.89035798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629086922405536-0.629133810105984)×R²
    abs(0.12137623-0.12128036)×4.68877004475843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68877004475843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68877004475843e-05×40589641000000     		ar = 147667.904468998m²