Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34048 / 21248
↖ ↑ ↗
← N 53.330873°
E  7.031250°		 ← 364.80 m → N 53.330873°
E  7.036743°		 →
↑
364.80 m
↓
↑
364.80 m
↓
N 53.327592°
E  7.031250°		 ← 364.82 m →
133 084 m²		 N 53.327592°
E  7.036743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519538879394531 y=0.324226379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519538879394531 × 216)
    floor (0.519538879394531 × 65536)
    floor (34048.5)     		tx = 34048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324226379394531 × 216)
    floor (0.324226379394531 × 65536)
    floor (21248.5)     		ty = 21248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34048 / 21248 ti = "16/34048/21248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34048/21248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34048 ÷ 216
    34048 ÷ 65536     		x = 0.51953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21248 ÷ 216
    21248 ÷ 65536     		y = 0.32421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51953125 × 2 - 1) × π
    0.0390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12271846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32421875 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12271846} λ = 0.12271846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10446616724609))-π/2
    2×atan(3.01761313802257)-π/2
    2×1.25079782664629-π/2
    2.50159565329258-1.57079632675     		φ = 0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12271846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34048 KachelY 21248 0.12271846 0.93079933 7.031250 53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 34049 KachelY 21248 0.12281434 0.93079933 7.036743 53.330873
    Unten links KachelX 34048 KachelY + 1 21249 0.12271846 0.93074207 7.031250 53.327592
    Unten rechts KachelX + 1 34049 KachelY + 1 21249 0.12281434 0.93074207 7.036743 53.327592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93079933-0.93074207) × R
    5.72600000000589e-05 × 6371000     		dl = 364.803460000375m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93079933-0.93074207) × R
    5.72600000000589e-05 × 6371000     		dr = 364.803460000375m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12271846-0.12281434) × cos(0.93079933) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 364.796247749278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12271846-0.12281434) × cos(0.93074207) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.597238959628382 × 6371000     		du = 364.824302402629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93079933)-sin(0.93074207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.597238959628382)×R²
    abs(0.12281434-0.12271846)×4.59271267563288e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.59271267563288e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.59271267563288e-05×40589641000000     		ar = 133084.050628006m²