Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34050 / 21250
↖ ↑ ↗
← N 53.324312°
E  7.042236°		 ← 364.81 m → N 53.324312°
E  7.047729°		 →
↑
364.87 m
↓
↑
364.87 m
↓
N 53.321030°
E  7.042236°		 ← 364.84 m →
133 114 m²		 N 53.321030°
E  7.047729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519569396972656 y=0.324256896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519569396972656 × 216)
    floor (0.519569396972656 × 65536)
    floor (34050.5)     		tx = 34050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324256896972656 × 216)
    floor (0.324256896972656 × 65536)
    floor (21250.5)     		ty = 21250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34050 / 21250 ti = "16/34050/21250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34050/21250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34050 ÷ 216
    34050 ÷ 65536     		x = 0.519561767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21250 ÷ 216
    21250 ÷ 65536     		y = 0.324249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519561767578125 × 2 - 1) × π
    0.03912353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12291021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324249267578125 × 2 - 1) × π
    0.35150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10427441964761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12291021} λ = 0.12291021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10427441964761))-π/2
    2×atan(3.01703457342117)-π/2
    2×1.25074056707809-π/2
    2.50148113415617-1.57079632675     		φ = 0.93068481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12291021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.042236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93068481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.324312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34050 KachelY 21250 0.12291021 0.93068481 7.042236 53.324312
    Oben rechts KachelX + 1 34051 KachelY 21250 0.12300608 0.93068481 7.047729 53.324312
    Unten links KachelX 34050 KachelY + 1 21251 0.12291021 0.93062754 7.042236 53.321030
    Unten rechts KachelX + 1 34051 KachelY + 1 21251 0.12300608 0.93062754 7.047729 53.321030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93068481-0.93062754) × R
    5.72699999999982e-05 × 6371000     		dl = 364.867169999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93068481-0.93062754) × R
    5.72699999999982e-05 × 6371000     		dr = 364.867169999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12291021-0.12300608) × cos(0.93068481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597284884796966 × 6371000     		do = 364.814302839838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12291021-0.12300608) × cos(0.93062754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.597330816027178 × 6371000     		du = 364.842357073512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93068481)-sin(0.93062754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597284884796966-0.597330816027178)×R²
    abs(0.12300608-0.12291021)×4.5931230211349e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5931230211349e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5931230211349e-05×40589641000000     		ar = 133113.880323202m²