Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34052 / 22276
↖ ↑ ↗
← N 49.823809°
E  7.053223°		 ← 394.04 m → N 49.823809°
E  7.058716°		 →
↑
394.05 m
↓
↑
394.05 m
↓
N 49.820265°
E  7.053223°		 ← 394.07 m →
155 277 m²		 N 49.820265°
E  7.058716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519599914550781 y=0.339912414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519599914550781 × 216)
    floor (0.519599914550781 × 65536)
    floor (34052.5)     		tx = 34052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339912414550781 × 216)
    floor (0.339912414550781 × 65536)
    floor (22276.5)     		ty = 22276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34052 / 22276 ti = "16/34052/22276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34052/22276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34052 ÷ 216
    34052 ÷ 65536     		x = 0.51959228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22276 ÷ 216
    22276 ÷ 65536     		y = 0.33990478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51959228515625 × 2 - 1) × π
    0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33990478515625 × 2 - 1) × π
    0.3201904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00590790162726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12310196} λ = 0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00590790162726))-π/2
    2×atan(2.73438870216086)-π/2
    2×1.22019292059849-π/2
    2.44038584119697-1.57079632675     		φ = 0.86958951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86958951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.823809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34052 KachelY 22276 0.12310196 0.86958951 7.053223 49.823809
    Oben rechts KachelX + 1 34053 KachelY 22276 0.12319783 0.86958951 7.058716 49.823809
    Unten links KachelX 34052 KachelY + 1 22277 0.12310196 0.86952766 7.053223 49.820265
    Unten rechts KachelX + 1 34053 KachelY + 1 22277 0.12319783 0.86952766 7.058716 49.820265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86958951-0.86952766) × R
    6.18499999999189e-05 × 6371000     		dl = 394.046349999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86958951-0.86952766) × R
    6.18499999999189e-05 × 6371000     		dr = 394.046349999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12310196-0.12319783) × cos(0.86958951) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645140242289256 × 6371000     		do = 394.043769925106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12310196-0.12319783) × cos(0.86952766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645187498424655 × 6371000     		du = 394.072633394665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86958951)-sin(0.86952766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645140242289256-0.645187498424655)×R²
    abs(0.12319783-0.12310196)×4.72561353989098e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72561353989098e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72561353989098e-05×40589641000000     		ar = 155277.19610107m²