Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34064 / 21936
↖ ↑ ↗
← N 51.013755°
E  7.119140°		 ← 384.31 m → N 51.013755°
E  7.124634°		 →
↑
384.30 m
↓
↑
384.30 m
↓
N 51.010298°
E  7.119140°		 ← 384.34 m →
147 694 m²		 N 51.010298°
E  7.124634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519783020019531 y=0.334724426269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519783020019531 × 216)
    floor (0.519783020019531 × 65536)
    floor (34064.5)     		tx = 34064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334724426269531 × 216)
    floor (0.334724426269531 × 65536)
    floor (21936.5)     		ty = 21936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34064 / 21936 ti = "16/34064/21936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34064/21936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34064 ÷ 216
    34064 ÷ 65536     		x = 0.519775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21936 ÷ 216
    21936 ÷ 65536     		y = 0.334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.519775390625 × 2 - 1) × π
    0.03955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12425244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334716796875 × 2 - 1) × π
    0.33056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0385049933689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12425244} λ = 0.12425244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0385049933689))-π/2
    2×atan(2.82499047629269)-π/2
    2×1.23057715467437-π/2
    2.46115430934875-1.57079632675     		φ = 0.89035798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12425244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.119140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89035798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.013755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34064 KachelY 21936 0.12425244 0.89035798 7.119140 51.013755
    Oben rechts KachelX + 1 34065 KachelY 21936 0.12434832 0.89035798 7.124634 51.013755
    Unten links KachelX 34064 KachelY + 1 21937 0.12425244 0.89029766 7.119140 51.010298
    Unten rechts KachelX + 1 34065 KachelY + 1 21937 0.12434832 0.89029766 7.124634 51.010298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89035798-0.89029766) × R
    6.03200000000026e-05 × 6371000     		dl = 384.298720000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89035798-0.89029766) × R
    6.03200000000026e-05 × 6371000     		dr = 384.298720000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12425244-0.12434832) × cos(0.89035798) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.629133810105984 × 6371000     		do = 384.30731902125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12425244-0.12434832) × cos(0.89029766) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.629180695517327 × 6371000     		du = 384.335959044159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89035798)-sin(0.89029766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629133810105984-0.629180695517327)×R²
    abs(0.12434832-0.12425244)×4.68854113426787e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.68854113426787e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.68854113426787e-05×40589641000000     		ar = 147694.313993606m²