Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34082 / 21986
↖ ↑ ↗
← N 50.840636°
E  7.218017°		 ← 385.74 m → N 50.840636°
E  7.223511°		 →
↑
385.76 m
↓
↑
385.76 m
↓
N 50.837167°
E  7.218017°		 ← 385.77 m →
148 810 m²		 N 50.837167°
E  7.223511°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.520057678222656 y=0.335487365722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.520057678222656 × 216)
    floor (0.520057678222656 × 65536)
    floor (34082.5)     		tx = 34082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335487365722656 × 216)
    floor (0.335487365722656 × 65536)
    floor (21986.5)     		ty = 21986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34082 / 21986 ti = "16/34082/21986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34082/21986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34082 ÷ 216
    34082 ÷ 65536     		x = 0.520050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21986 ÷ 216
    21986 ÷ 65536     		y = 0.335479736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.520050048828125 × 2 - 1) × π
    0.04010009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.12597817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335479736328125 × 2 - 1) × π
    0.32904052734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03371130340689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12597817} λ = 0.12597817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03371130340689))-π/2
    2×atan(2.81148075438339)-π/2
    2×1.22906640789164-π/2
    2.45813281578329-1.57079632675     		φ = 0.88733649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12597817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.218017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88733649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.840636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34082 KachelY 21986 0.12597817 0.88733649 7.218017 50.840636
    Oben rechts KachelX + 1 34083 KachelY 21986 0.12607405 0.88733649 7.223511 50.840636
    Unten links KachelX 34082 KachelY + 1 21987 0.12597817 0.88727594 7.218017 50.837167
    Unten rechts KachelX + 1 34083 KachelY + 1 21987 0.12607405 0.88727594 7.223511 50.837167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88733649-0.88727594) × R
    6.05500000000481e-05 × 6371000     		dl = 385.764050000306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88733649-0.88727594) × R
    6.05500000000481e-05 × 6371000     		dr = 385.764050000306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12597817-0.12607405) × cos(0.88733649) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63147952988374 × 6371000     		do = 385.740205419157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12597817-0.12607405) × cos(0.88727594) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.63152647874489 × 6371000     		du = 385.768884200475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88733649)-sin(0.88727594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63147952988374-0.63152647874489)×R²
    abs(0.12607405-0.12597817)×4.69488611491986e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69488611491986e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69488611491986e-05×40589641000000     		ar = 148810.235557108m²