Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34336 / 24096
↖ ↑ ↗
← N 42.940339°
E  8.613281°		 ← 447.14 m → N 42.940339°
E  8.618774°		 →
↑
447.18 m
↓
↑
447.18 m
↓
N 42.936318°
E  8.613281°		 ← 447.16 m →
199 957 m²		 N 42.936318°
E  8.618774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.523933410644531 y=0.367683410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.523933410644531 × 216)
    floor (0.523933410644531 × 65536)
    floor (34336.5)     		tx = 34336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367683410644531 × 216)
    floor (0.367683410644531 × 65536)
    floor (24096.5)     		ty = 24096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34336 / 24096 ti = "16/34336/24096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34336/24096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34336 ÷ 216
    34336 ÷ 65536     		x = 0.52392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24096 ÷ 216
    24096 ÷ 65536     		y = 0.36767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52392578125 × 2 - 1) × π
    0.0478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.15033012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    0.2646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.831417587010254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15033012} λ = 0.15033012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831417587010254))-π/2
    2×atan(2.29657202448267)-π/2
    2×1.16012331416384-π/2
    2.32024662832767-1.57079632675     		φ = 0.74945030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15033012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 8.613281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74945030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.940339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34336 KachelY 24096 0.15033012 0.74945030 8.613281 42.940339
    Oben rechts KachelX + 1 34337 KachelY 24096 0.15042599 0.74945030 8.618774 42.940339
    Unten links KachelX 34336 KachelY + 1 24097 0.15033012 0.74938011 8.613281 42.936318
    Unten rechts KachelX + 1 34337 KachelY + 1 24097 0.15042599 0.74938011 8.618774 42.936318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74945030-0.74938011) × R
    7.018999999997e-05 × 6371000     		dl = 447.180489999809m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74945030-0.74938011) × R
    7.018999999997e-05 × 6371000     		dr = 447.180489999809m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15033012-0.15042599) × cos(0.74945030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732063455134092 × 6371000     		do = 447.135405259838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15033012-0.15042599) × cos(0.74938011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.732111269317011 × 6371000     		du = 447.164609577997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74945030)-sin(0.74938011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732063455134092-0.732111269317011)×R²
    abs(0.15042599-0.15033012)×4.78141829187706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78141829187706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78141829187706e-05×40589641000000     		ar = 199956.759503057m²