Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34432 / 24192
↖ ↑ ↗
← N 42.553080°
E  9.140625°		 ← 449.98 m → N 42.553080°
E  9.146118°		 →
↑
449.98 m
↓
↑
449.98 m
↓
N 42.549034°
E  9.140625°		 ← 450.01 m →
202 492 m²		 N 42.549034°
E  9.146118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525398254394531 y=0.369148254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525398254394531 × 216)
    floor (0.525398254394531 × 65536)
    floor (34432.5)     		tx = 34432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369148254394531 × 216)
    floor (0.369148254394531 × 65536)
    floor (24192.5)     		ty = 24192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34432 / 24192 ti = "16/34432/24192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34432/24192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34432 ÷ 216
    34432 ÷ 65536     		x = 0.525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24192 ÷ 216
    24192 ÷ 65536     		y = 0.369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.525390625 × 2 - 1) × π
    0.05078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.15953400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.369140625 × 2 - 1) × π
    0.26171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.822213702283203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.15953400} λ = 0.15953400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822213702283203))-π/2
    2×atan(2.2755316155812)-π/2
    2×1.15674384234268-π/2
    2.31348768468536-1.57079632675     		φ = 0.74269136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.15953400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74269136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.553080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34432 KachelY 24192 0.15953400 0.74269136 9.140625 42.553080
    Oben rechts KachelX + 1 34433 KachelY 24192 0.15962988 0.74269136 9.146118 42.553080
    Unten links KachelX 34432 KachelY + 1 24193 0.15953400 0.74262073 9.140625 42.549034
    Unten rechts KachelX + 1 34433 KachelY + 1 24193 0.15962988 0.74262073 9.146118 42.549034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74269136-0.74262073) × R
    7.06300000000715e-05 × 6371000     		dl = 449.983730000455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74269136-0.74262073) × R
    7.06300000000715e-05 × 6371000     		dr = 449.983730000455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.15953400-0.15962988) × cos(0.74269136) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.736651134889731 × 6371000     		do = 449.984435991037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.15953400-0.15962988) × cos(0.74262073) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.736698898210856 × 6371000     		du = 450.013612286436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74269136)-sin(0.74262073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736651134889731-0.736698898210856)×R²
    abs(0.15962988-0.15953400)×4.77633211249939e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77633211249939e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77633211249939e-05×40589641000000     		ar = 202492.239463036m²