Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34559 / 22271
↖ ↑ ↗
← N 49.841525°
E  9.838257°		 ← 393.94 m → N 49.841525°
E  9.843750°		 →
↑
393.92 m
↓
↑
393.92 m
↓
N 49.837983°
E  9.838257°		 ← 393.97 m →
155 186 m²		 N 49.837983°
E  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527336120605469 y=0.339836120605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527336120605469 × 216)
    floor (0.527336120605469 × 65536)
    floor (34559.5)     		tx = 34559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339836120605469 × 216)
    floor (0.339836120605469 × 65536)
    floor (22271.5)     		ty = 22271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34559 / 22271 ti = "16/34559/22271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34559/22271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34559 ÷ 216
    34559 ÷ 65536     		x = 0.527328491210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22271 ÷ 216
    22271 ÷ 65536     		y = 0.339828491210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527328491210938 × 2 - 1) × π
    0.054656982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17170997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339828491210938 × 2 - 1) × π
    0.320343017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00638727062346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17170997} λ = 0.17170997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00638727062346))-π/2
    2×atan(2.73569979755237)-π/2
    2×1.22034752239577-π/2
    2.44069504479154-1.57079632675     		φ = 0.86989872
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17170997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.838257°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86989872 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.841525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34559 KachelY 22271 0.17170997 0.86989872 9.838257 49.841525
    Oben rechts KachelX + 1 34560 KachelY 22271 0.17180585 0.86989872 9.843750 49.841525
    Unten links KachelX 34559 KachelY + 1 22272 0.17170997 0.86983689 9.838257 49.837983
    Unten rechts KachelX + 1 34560 KachelY + 1 22272 0.17180585 0.86983689 9.843750 49.837983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86989872-0.86983689) × R
    6.18300000000405e-05 × 6371000     		dl = 393.918930000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86989872-0.86983689) × R
    6.18300000000405e-05 × 6371000     		dr = 393.918930000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17170997-0.17180585) × cos(0.86989872) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.644903955167412 × 6371000     		do = 393.940535471951m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17170997-0.17180585) × cos(0.86983689) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.644951208354603 × 6371000     		du = 393.969400151281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86989872)-sin(0.86983689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644903955167412-0.644951208354603)×R²
    abs(0.17180585-0.17170997)×4.72531871906767e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.72531871906767e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.72531871906767e-05×40589641000000     		ar = 155186.319437864m²