Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 34560 / 21760
↖ ↑ ↗
← N 51.618016°
E  9.843750°		 ← 379.24 m → N 51.618016°
E  9.849243°		 →
↑
379.27 m
↓
↑
379.27 m
↓
N 51.614606°
E  9.843750°		 ← 379.27 m →
143 838 m²		 N 51.614606°
E  9.849243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527351379394531 y=0.332038879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527351379394531 × 216)
    floor (0.527351379394531 × 65536)
    floor (34560.5)     		tx = 34560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332038879394531 × 216)
    floor (0.332038879394531 × 65536)
    floor (21760.5)     		ty = 21760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34560 / 21760 ti = "16/34560/21760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34560/21760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34560 ÷ 216
    34560 ÷ 65536     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21760 ÷ 216
    21760 ÷ 65536     		y = 0.33203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33203125 × 2 - 1) × π
    0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05537878203516))-π/2
    2×atan(2.87306321255058)-π/2
    2×1.23585033445059-π/2
    2.47170066890119-1.57079632675     		φ = 0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34560 KachelY 21760 0.17180585 0.90090434 9.843750 51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 34561 KachelY 21760 0.17190172 0.90090434 9.849243 51.618016
    Unten links KachelX 34560 KachelY + 1 21761 0.17180585 0.90084481 9.843750 51.614606
    Unten rechts KachelX + 1 34561 KachelY + 1 21761 0.17190172 0.90084481 9.849243 51.614606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90090434-0.90084481) × R
    5.95299999999188e-05 × 6371000     		dl = 379.265629999483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90090434-0.90084481) × R
    5.95299999999188e-05 × 6371000     		dr = 379.265629999483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.17190172) × cos(0.90090434) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 379.238932830674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.17190172) × cos(0.90084481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.620947984120132 × 6371000     		du = 379.267434506722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90090434)-sin(0.90084481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.620947984120132)×R²
    abs(0.17190172-0.17180585)×4.66637962446281e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.66637962446281e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.66637962446281e-05×40589641000000     		ar = 143837.697675852m²