Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34560 / 22272
↖ ↑ ↗
← N 49.837983°
E  9.843750°		 ← 393.93 m → N 49.837983°
E  9.849243°		 →
↑
393.98 m
↓
↑
393.98 m
↓
N 49.834439°
E  9.843750°		 ← 393.96 m →
155 207 m²		 N 49.834439°
E  9.849243°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527351379394531 y=0.339851379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527351379394531 × 216)
    floor (0.527351379394531 × 65536)
    floor (34560.5)     		tx = 34560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339851379394531 × 216)
    floor (0.339851379394531 × 65536)
    floor (22272.5)     		ty = 22272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34560 / 22272 ti = "16/34560/22272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34560/22272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34560 ÷ 216
    34560 ÷ 65536     		x = 0.52734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22272 ÷ 216
    22272 ÷ 65536     		y = 0.33984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52734375 × 2 - 1) × π
    0.0546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17180585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33984375 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.00629139682422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17180585} λ = 0.17180585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00629139682422))-π/2
    2×atan(2.73543752819178)-π/2
    2×1.22031660656692-π/2
    2.44063321313384-1.57079632675     		φ = 0.86983689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17180585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.843750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86983689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.837983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34560 KachelY 22272 0.17180585 0.86983689 9.843750 49.837983
    Oben rechts KachelX + 1 34561 KachelY 22272 0.17190172 0.86983689 9.849243 49.837983
    Unten links KachelX 34560 KachelY + 1 22273 0.17180585 0.86977505 9.843750 49.834439
    Unten rechts KachelX + 1 34561 KachelY + 1 22273 0.17190172 0.86977505 9.849243 49.834439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86983689-0.86977505) × R
    6.18399999999797e-05 × 6371000     		dl = 393.982639999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86983689-0.86977505) × R
    6.18399999999797e-05 × 6371000     		dr = 393.982639999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17180585-0.17190172) × cos(0.86983689) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644951208354603 × 6371000     		do = 393.928310309705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17180585-0.17190172) × cos(0.86977505) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.644998466718017 × 6371000     		du = 393.957175140108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86983689)-sin(0.86977505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644951208354603-0.644998466718017)×R²
    abs(0.17190172-0.17180585)×4.72583634139045e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72583634139045e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72583634139045e-05×40589641000000     		ar = 155206.601836922m²