Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 34562 / 22274
↖ ↑ ↗
← N 49.830896°
E  9.854737°		 ← 393.99 m → N 49.830896°
E  9.860230°		 →
↑
394.05 m
↓
↑
394.05 m
↓
N 49.827353°
E  9.854737°		 ← 394.01 m →
155 254 m²		 N 49.827353°
E  9.860230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 34562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527381896972656 y=0.339881896972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527381896972656 × 216)
    floor (0.527381896972656 × 65536)
    floor (34562.5)     		tx = 34562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339881896972656 × 216)
    floor (0.339881896972656 × 65536)
    floor (22274.5)     		ty = 22274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 34562 / 22274 ti = "16/34562/22274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/34562/22274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 34562 ÷ 216
    34562 ÷ 65536     		x = 0.527374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22274 ÷ 216
    22274 ÷ 65536     		y = 0.339874267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.527374267578125 × 2 - 1) × π
    0.05474853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17199760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339874267578125 × 2 - 1) × π
    0.32025146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00609964922574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17199760} λ = 0.17199760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00609964922574))-π/2
    2×atan(2.73491306489885)-π/2
    2×1.22025476811341-π/2
    2.44050953622681-1.57079632675     		φ = 0.86971321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17199760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.854737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86971321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.830896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 34562 KachelY 22274 0.17199760 0.86971321 9.854737 49.830896
    Oben rechts KachelX + 1 34563 KachelY 22274 0.17209347 0.86971321 9.860230 49.830896
    Unten links KachelX 34562 KachelY + 1 22275 0.17199760 0.86965136 9.854737 49.827353
    Unten rechts KachelX + 1 34563 KachelY + 1 22275 0.17209347 0.86965136 9.860230 49.827353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86971321-0.86965136) × R
    6.18500000000299e-05 × 6371000     		dl = 394.046350000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86971321-0.86965136) × R
    6.18500000000299e-05 × 6371000     		dr = 394.046350000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17199760-0.17209347) × cos(0.86971321) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645045722614837 × 6371000     		do = 393.986038463946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17199760-0.17209347) × cos(0.86965136) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.645092983685923 × 6371000     		du = 394.014904948163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86971321)-sin(0.86965136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645045722614837-0.645092983685923)×R²
    abs(0.17209347-0.17199760)×4.72610710863242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72610710863242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72610710863242e-05×40589641000000     		ar = 155254.447823514m²