Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 35 / 20
↖ ↑ ↗
← N 55.776573°
E 16.875000°		 ← 351.779 km → N 55.776573°
E 22.500000°		 →
↑
366.253 km
↓
↑
366.253 km
↓
N 52.482780°
E 16.875000°		 ← 380.912 km →
134 212 km²		 N 52.482780°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5546875 y=0.3203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5546875 × 26)
    floor (0.5546875 × 64)
    floor (35.5)     		tx = 35
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3203125 × 26)
    floor (0.3203125 × 64)
    floor (20.5)     		ty = 20
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 35 / 20 ti = "6/35/20"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/35/20.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35 ÷ 26
    35 ÷ 64     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20 ÷ 26
    20 ÷ 64     		y = 0.3125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3125 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1780972450625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1780972450625))-π/2
    2×atan(3.24818781376435)-π/2
    2×1.27214058571537-π/2
    2.54428117143074-1.57079632675     		φ = 0.97348484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97348484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.776573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35 KachelY 20 0.29452431 0.97348484 16.875000 55.776573
    Oben rechts KachelX + 1 36 KachelY 20 0.39269908 0.97348484 22.500000 55.776573
    Unten links KachelX 35 KachelY + 1 21 0.29452431 0.91599732 16.875000 52.482780
    Unten rechts KachelX + 1 36 KachelY + 1 21 0.39269908 0.91599732 22.500000 52.482780
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97348484-0.91599732) × R
    0.05748752 × 6371000     		dl = 366252.98992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97348484-0.91599732) × R
    0.05748752 × 6371000     		dr = 366252.98992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.39269908) × cos(0.97348484) × R
    0.09817477 × 0.562421509722991 × 6371000     		do = 351778.602636244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.39269908) × cos(0.91599732) × R
    0.09817477 × 0.608999833781129 × 6371000     		du = 380912.01497387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97348484)-sin(0.91599732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562421509722991-0.608999833781129)×R²
    abs(0.39269908-0.29452431)×0.0465783240581379×R²
    0.09817477×0.0465783240581379×6371000²
    0.09817477×0.0465783240581379×40589641000000     		ar = 134212028889.089m²