Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35327 / 22017
↖ ↑ ↗
← N 50.732978°
E 14.057007°		 ← 386.63 m → N 50.732978°
E 14.062500°		 →
↑
386.59 m
↓
↑
386.59 m
↓
N 50.729502°
E 14.057007°		 ← 386.66 m →
149 474 m²		 N 50.729502°
E 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35327 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539054870605469 y=0.335960388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539054870605469 × 216)
    floor (0.539054870605469 × 65536)
    floor (35327.5)     		tx = 35327
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335960388183594 × 216)
    floor (0.335960388183594 × 65536)
    floor (22017.5)     		ty = 22017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35327 / 22017 ti = "16/35327/22017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35327/22017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35327 ÷ 216
    35327 ÷ 65536     		x = 0.539047241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22017 ÷ 216
    22017 ÷ 65536     		y = 0.335952758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539047241210938 × 2 - 1) × π
    0.078094482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.24534105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335952758789062 × 2 - 1) × π
    0.328094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03073921563045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24534105} λ = 0.24534105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03073921563045))-π/2
    2×atan(2.80313719184147)-π/2
    2×1.22812692002101-π/2
    2.45625384004202-1.57079632675     		φ = 0.88545751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24534105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.057007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88545751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.732978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35327 KachelY 22017 0.24534105 0.88545751 14.057007 50.732978
    Oben rechts KachelX + 1 35328 KachelY 22017 0.24543693 0.88545751 14.062500 50.732978
    Unten links KachelX 35327 KachelY + 1 22018 0.24534105 0.88539683 14.057007 50.729502
    Unten rechts KachelX + 1 35328 KachelY + 1 22018 0.24543693 0.88539683 14.062500 50.729502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88545751-0.88539683) × R
    6.06799999999241e-05 × 6371000     		dl = 386.592279999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88545751-0.88539683) × R
    6.06799999999241e-05 × 6371000     		dr = 386.592279999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24534105-0.24543693) × cos(0.88545751) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632935361376384 × 6371000     		do = 386.629502241069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24534105-0.24543693) × cos(0.88539683) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.632982338948803 × 6371000     		du = 386.658198560708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88545751)-sin(0.88539683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632935361376384-0.632982338948803)×R²
    abs(0.24543693-0.24534105)×4.69775724184496e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.69775724184496e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.69775724184496e-05×40589641000000     		ar = 149473.527719942m²