Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35328 / 22016
↖ ↑ ↗
← N 50.736455°
E 14.062500°		 ← 386.56 m → N 50.736455°
E 14.067993°		 →
↑
386.59 m
↓
↑
386.59 m
↓
N 50.732978°
E 14.062500°		 ← 386.59 m →
149 447 m²		 N 50.732978°
E 14.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539070129394531 y=0.335945129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539070129394531 × 216)
    floor (0.539070129394531 × 65536)
    floor (35328.5)     		tx = 35328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335945129394531 × 216)
    floor (0.335945129394531 × 65536)
    floor (22016.5)     		ty = 22016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35328 / 22016 ti = "16/35328/22016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35328/22016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35328 ÷ 216
    35328 ÷ 65536     		x = 0.5390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22016 ÷ 216
    22016 ÷ 65536     		y = 0.3359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5390625 × 2 - 1) × π
    0.078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24543693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3359375 × 2 - 1) × π
    0.328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03083508942969
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24543693} λ = 0.24543693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03083508942969))-π/2
    2×atan(2.80340595213717)-π/2
    2×1.22815725985374-π/2
    2.45631451970748-1.57079632675     		φ = 0.88551819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24543693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88551819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.736455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35328 KachelY 22016 0.24543693 0.88551819 14.062500 50.736455
    Oben rechts KachelX + 1 35329 KachelY 22016 0.24553280 0.88551819 14.067993 50.736455
    Unten links KachelX 35328 KachelY + 1 22017 0.24543693 0.88545751 14.062500 50.732978
    Unten rechts KachelX + 1 35329 KachelY + 1 22017 0.24553280 0.88545751 14.067993 50.732978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88551819-0.88545751) × R
    6.06800000000352e-05 × 6371000     		dl = 386.592280000224m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88551819-0.88545751) × R
    6.06800000000352e-05 × 6371000     		dr = 386.592280000224m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24543693-0.24553280) × cos(0.88551819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632888381473458 × 6371000     		do = 386.560483179074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24543693-0.24553280) × cos(0.88545751) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.632935361376384 × 6371000     		du = 386.589177929217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88551819)-sin(0.88545751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632888381473458-0.632935361376384)×R²
    abs(0.24553280-0.24543693)×4.69799029260143e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69799029260143e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69799029260143e-05×40589641000000     		ar = 149446.845180415m²