Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 35330 / 22018
↖ ↑ ↗
← N 50.729502°
E 14.073486°		 ← 386.66 m → N 50.729502°
E 14.078980°		 →
↑
386.66 m
↓
↑
386.66 m
↓
N 50.726024°
E 14.073486°		 ← 386.69 m →
149 509 m²		 N 50.726024°
E 14.078980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539100646972656 y=0.335975646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539100646972656 × 216)
    floor (0.539100646972656 × 65536)
    floor (35330.5)     		tx = 35330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335975646972656 × 216)
    floor (0.335975646972656 × 65536)
    floor (22018.5)     		ty = 22018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35330 / 22018 ti = "16/35330/22018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35330/22018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35330 ÷ 216
    35330 ÷ 65536     		x = 0.539093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22018 ÷ 216
    22018 ÷ 65536     		y = 0.335968017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539093017578125 × 2 - 1) × π
    0.07818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24562867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335968017578125 × 2 - 1) × π
    0.32806396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03064334183121
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24562867} λ = 0.24562867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03064334183121))-π/2
    2×atan(2.8028684573116)-π/2
    2×1.22809657793619-π/2
    2.45619315587238-1.57079632675     		φ = 0.88539683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24562867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88539683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.729502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35330 KachelY 22018 0.24562867 0.88539683 14.073486 50.729502
    Oben rechts KachelX + 1 35331 KachelY 22018 0.24572455 0.88539683 14.078980 50.729502
    Unten links KachelX 35330 KachelY + 1 22019 0.24562867 0.88533614 14.073486 50.726024
    Unten rechts KachelX + 1 35331 KachelY + 1 22019 0.24572455 0.88533614 14.078980 50.726024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88539683-0.88533614) × R
    6.06899999999744e-05 × 6371000     		dl = 386.655989999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88539683-0.88533614) × R
    6.06899999999744e-05 × 6371000     		dr = 386.655989999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24562867-0.24572455) × cos(0.88539683) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.632982338948803 × 6371000     		do = 386.65819856082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24562867-0.24572455) × cos(0.88533614) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.633029321931819 × 6371000     		du = 386.68689818553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88539683)-sin(0.88533614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632982338948803-0.633029321931819)×R²
    abs(0.24572455-0.24562867)×4.69829830161972e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.69829830161972e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.69829830161972e-05×40589641000000     		ar = 149509.257042934m²