Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35336 / 21000
↖ ↑ ↗
← N 54.136696°
E 14.106446°		 ← 357.83 m → N 54.136696°
E 14.111938°		 →
↑
357.86 m
↓
↑
357.86 m
↓
N 54.133478°
E 14.106446°		 ← 357.86 m →
128 058 m²		 N 54.133478°
E 14.111938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539192199707031 y=0.320442199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539192199707031 × 216)
    floor (0.539192199707031 × 65536)
    floor (35336.5)     		tx = 35336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320442199707031 × 216)
    floor (0.320442199707031 × 65536)
    floor (21000.5)     		ty = 21000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35336 / 21000 ti = "16/35336/21000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35336/21000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35336 ÷ 216
    35336 ÷ 65536     		x = 0.5391845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21000 ÷ 216
    21000 ÷ 65536     		y = 0.3204345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5391845703125 × 2 - 1) × π
    0.078369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24620392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3204345703125 × 2 - 1) × π
    0.359130859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12824286945764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24620392} λ = 0.24620392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12824286945764))-π/2
    2×atan(3.09022180367356)-π/2
    2×1.25782996305057-π/2
    2.51565992610113-1.57079632675     		φ = 0.94486360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24620392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.106446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94486360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.136696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35336 KachelY 21000 0.24620392 0.94486360 14.106446 54.136696
    Oben rechts KachelX + 1 35337 KachelY 21000 0.24629979 0.94486360 14.111938 54.136696
    Unten links KachelX 35336 KachelY + 1 21001 0.24620392 0.94480743 14.106446 54.133478
    Unten rechts KachelX + 1 35337 KachelY + 1 21001 0.24629979 0.94480743 14.111938 54.133478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94486360-0.94480743) × R
    5.6170000000022e-05 × 6371000     		dl = 357.85907000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94486360-0.94480743) × R
    5.6170000000022e-05 × 6371000     		dr = 357.85907000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24620392-0.24629979) × cos(0.94486360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585853425350789 × 6371000     		do = 357.832107216862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24620392-0.24629979) × cos(0.94480743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.585898945551188 × 6371000     		du = 357.859910398554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94486360)-sin(0.94480743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585853425350789-0.585898945551188)×R²
    abs(0.24629979-0.24620392)×4.55202003988298e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55202003988298e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55202003988298e-05×40589641000000     		ar = 128058.439948843m²