Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 35360 / 22048
↖ ↑ ↗
← N 50.625073°
E 14.238281°		 ← 387.48 m → N 50.625073°
E 14.243774°		 →
↑
387.48 m
↓
↑
387.48 m
↓
N 50.621588°
E 14.238281°		 ← 387.51 m →
150 148 m²		 N 50.621588°
E 14.243774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 35360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539558410644531 y=0.336433410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539558410644531 × 216)
    floor (0.539558410644531 × 65536)
    floor (35360.5)     		tx = 35360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336433410644531 × 216)
    floor (0.336433410644531 × 65536)
    floor (22048.5)     		ty = 22048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 35360 / 22048 ti = "16/35360/22048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/35360/22048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 35360 ÷ 216
    35360 ÷ 65536     		x = 0.53955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22048 ÷ 216
    22048 ÷ 65536     		y = 0.33642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53955078125 × 2 - 1) × π
    0.0791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.24850489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33642578125 × 2 - 1) × π
    0.3271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.027767127854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24850489} λ = 0.24850489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.027767127854))-π/2
    2×atan(2.79481839028565)-π/2
    2×1.22718526789777-π/2
    2.45437053579553-1.57079632675     		φ = 0.88357421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24850489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88357421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.625073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 35360 KachelY 22048 0.24850489 0.88357421 14.238281 50.625073
    Oben rechts KachelX + 1 35361 KachelY 22048 0.24860076 0.88357421 14.243774 50.625073
    Unten links KachelX 35360 KachelY + 1 22049 0.24850489 0.88351339 14.238281 50.621588
    Unten rechts KachelX + 1 35361 KachelY + 1 22049 0.24860076 0.88351339 14.243774 50.621588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88357421-0.88351339) × R
    6.08200000000725e-05 × 6371000     		dl = 387.484220000462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88357421-0.88351339) × R
    6.08200000000725e-05 × 6371000     		dr = 387.484220000462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24850489-0.24860076) × cos(0.88357421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634392297664295 × 6371000     		do = 387.479056795542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24850489-0.24860076) × cos(0.88351339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.634439311035947 × 6371000     		du = 387.507771987974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88357421)-sin(0.88351339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634392297664295-0.634439311035947)×R²
    abs(0.24860076-0.24850489)×4.70133716528043e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.70133716528043e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.70133716528043e-05×40589641000000     		ar = 150147.583477121m²