Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36354 / 20994
↖ ↑ ↗
← N 54.156001°
E 19.698486°		 ← 357.70 m → N 54.156001°
E 19.703980°		 →
↑
357.73 m
↓
↑
357.73 m
↓
N 54.152784°
E 19.698486°		 ← 357.73 m →
127 967 m²		 N 54.152784°
E 19.703980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.554725646972656 y=0.320350646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.554725646972656 × 216)
    floor (0.554725646972656 × 65536)
    floor (36354.5)     		tx = 36354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320350646972656 × 216)
    floor (0.320350646972656 × 65536)
    floor (20994.5)     		ty = 20994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36354 / 20994 ti = "16/36354/20994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36354/20994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36354 ÷ 216
    36354 ÷ 65536     		x = 0.554718017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20994 ÷ 216
    20994 ÷ 65536     		y = 0.320343017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.554718017578125 × 2 - 1) × π
    0.10943603515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.34380344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320343017578125 × 2 - 1) × π
    0.35931396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.12881811225308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.34380344} λ = 0.34380344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12881811225308))-π/2
    2×atan(3.09199994288429)-π/2
    2×1.25799842775756-π/2
    2.51599685551511-1.57079632675     		φ = 0.94520053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.34380344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 19.698486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94520053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.156001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36354 KachelY 20994 0.34380344 0.94520053 19.698486 54.156001
    Oben rechts KachelX + 1 36355 KachelY 20994 0.34389932 0.94520053 19.703980 54.156001
    Unten links KachelX 36354 KachelY + 1 20995 0.34380344 0.94514438 19.698486 54.152784
    Unten rechts KachelX + 1 36355 KachelY + 1 20995 0.34389932 0.94514438 19.703980 54.152784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94520053-0.94514438) × R
    5.61500000000326e-05 × 6371000     		dl = 357.731650000207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94520053-0.94514438) × R
    5.61500000000326e-05 × 6371000     		dr = 357.731650000207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.34380344-0.34389932) × cos(0.94520053) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585580338292153 × 6371000     		do = 357.702616304635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.34380344-0.34389932) × cos(0.94514438) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.585625853366255 × 6371000     		du = 357.730419255012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94520053)-sin(0.94514438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.585580338292153-0.585625853366255)×R²
    abs(0.34389932-0.34380344)×4.55150741017762e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.55150741017762e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.55150741017762e-05×40589641000000     		ar = 127966.520171094m²