Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 39040 / 22656
↖ ↑ ↗
← N 48.458352°
E 34.453125°		 ← 405.05 m → N 48.458352°
E 34.458618°		 →
↑
405.07 m
↓
↑
405.07 m
↓
N 48.454709°
E 34.453125°		 ← 405.08 m →
164 080 m²		 N 48.454709°
E 34.458618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 39040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.595710754394531 y=0.345710754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.595710754394531 × 216)
    floor (0.595710754394531 × 65536)
    floor (39040.5)     		tx = 39040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345710754394531 × 216)
    floor (0.345710754394531 × 65536)
    floor (22656.5)     		ty = 22656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 39040 / 22656 ti = "16/39040/22656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/39040/22656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 39040 ÷ 216
    39040 ÷ 65536     		x = 0.595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22656 ÷ 216
    22656 ÷ 65536     		y = 0.345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.595703125 × 2 - 1) × π
    0.19140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.60132047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345703125 × 2 - 1) × π
    0.30859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.969475857916016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.60132047} λ = 0.60132047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969475857916016))-π/2
    2×atan(2.63656216393904)-π/2
    2×1.20827705861076-π/2
    2.41655411722153-1.57079632675     		φ = 0.84575779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.60132047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84575779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.458352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 39040 KachelY 22656 0.60132047 0.84575779 34.453125 48.458352
    Oben rechts KachelX + 1 39041 KachelY 22656 0.60141634 0.84575779 34.458618 48.458352
    Unten links KachelX 39040 KachelY + 1 22657 0.60132047 0.84569421 34.453125 48.454709
    Unten rechts KachelX + 1 39041 KachelY + 1 22657 0.60141634 0.84569421 34.458618 48.454709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84575779-0.84569421) × R
    6.3579999999952e-05 × 6371000     		dl = 405.068179999694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84575779-0.84569421) × R
    6.3579999999952e-05 × 6371000     		dr = 405.068179999694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.60132047-0.60141634) × cos(0.84575779) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663164286939641 × 6371000     		do = 405.052635963495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.60132047-0.60141634) × cos(0.84569421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663211873567635 × 6371000     		du = 405.081701293889m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84575779)-sin(0.84569421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663164286939641-0.663211873567635)×R²
    abs(0.60141634-0.60132047)×4.75866279938675e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75866279938675e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75866279938675e-05×40589641000000     		ar = 164079.820829413m²