Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4032 / 3008
↖ ↑ ↗
← N 43.068888°
W  2.812500°		 ← 3 569.79 m → N 43.068888°
W  2.768554°		 →
↑
3 570.69 m
↓
↑
3 570.69 m
↓
N 43.036776°
W  2.812500°		 ← 3 571.66 m →
12 749 962 m²		 N 43.036776°
W  2.768554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49224853515625 y=0.36724853515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49224853515625 × 213)
    floor (0.49224853515625 × 8192)
    floor (4032.5)     		tx = 4032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36724853515625 × 213)
    floor (0.36724853515625 × 8192)
    floor (3008.5)     		ty = 3008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4032 / 3008 ti = "13/4032/3008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4032/3008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4032 ÷ 213
    4032 ÷ 8192     		x = 0.4921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3008 ÷ 213
    3008 ÷ 8192     		y = 0.3671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4921875 × 2 - 1) × π
    -0.015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3671875 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.834485548585937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04908739} λ = -0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.834485548585937))-π/2
    2×atan(2.30362863838476)-π/2
    2×1.16124511180433-π/2
    2.32249022360866-1.57079632675     		φ = 0.75169390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75169390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.068888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4032 KachelY 3008 -0.04908739 0.75169390 -2.812500 43.068888
    Oben rechts KachelX + 1 4033 KachelY 3008 -0.04832039 0.75169390 -2.768554 43.068888
    Unten links KachelX 4032 KachelY + 1 3009 -0.04908739 0.75113344 -2.812500 43.036776
    Unten rechts KachelX + 1 4033 KachelY + 1 3009 -0.04832039 0.75113344 -2.768554 43.036776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75169390-0.75113344) × R
    0.000560459999999985 × 6371000     		dl = 3570.6906599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75169390-0.75113344) × R
    0.000560459999999985 × 6371000     		dr = 3570.6906599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04908739--0.04832039) × cos(0.75169390) × R
    0.000767000000000004 × 0.730533191814215 × 6371000     		do = 3569.79208219211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04908739--0.04832039) × cos(0.75113344) × R
    0.000767000000000004 × 0.730915802407826 × 6371000     		du = 3571.6617306666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75169390)-sin(0.75113344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730533191814215-0.730915802407826)×R²
    abs(-0.04832039--0.04908739)×0.000382610593610777×R²
    0.000767000000000004×0.000382610593610777×6371000²
    0.000767000000000004×0.000382610593610777×40589641000000     		ar = 12749961.5479431m²