Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4033 / 3009
↖ ↑ ↗
← N 43.036776°
W  2.768554°		 ← 3 571.62 m → N 43.036776°
W  2.724609°		 →
↑
3 572.54 m
↓
↑
3 572.54 m
↓
N 43.004647°
W  2.768554°		 ← 3 573.48 m →
12 763 071 m²		 N 43.004647°
W  2.724609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49237060546875 y=0.36737060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49237060546875 × 213)
    floor (0.49237060546875 × 8192)
    floor (4033.5)     		tx = 4033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36737060546875 × 213)
    floor (0.36737060546875 × 8192)
    floor (3009.5)     		ty = 3009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4033 / 3009 ti = "13/4033/3009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4033/3009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4033 ÷ 213
    4033 ÷ 8192     		x = 0.4923095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3009 ÷ 213
    3009 ÷ 8192     		y = 0.3673095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.015380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04832039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3673095703125 × 2 - 1) × π
    0.265380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.833718558192017
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04832039} λ = -0.04832039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833718558192017))-π/2
    2×atan(2.30186245475748)-π/2
    2×1.1609648824678-π/2
    2.32192976493559-1.57079632675     		φ = 0.75113344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04832039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.768554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75113344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.036776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4033 KachelY 3009 -0.04832039 0.75113344 -2.768554 43.036776
    Oben rechts KachelX + 1 4034 KachelY 3009 -0.04755340 0.75113344 -2.724609 43.036776
    Unten links KachelX 4033 KachelY + 1 3010 -0.04832039 0.75057269 -2.768554 43.004647
    Unten rechts KachelX + 1 4034 KachelY + 1 3010 -0.04755340 0.75057269 -2.724609 43.004647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75113344-0.75057269) × R
    0.000560749999999999 × 6371000     		dl = 3572.53824999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75113344-0.75057269) × R
    0.000560749999999999 × 6371000     		dr = 3572.53824999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04832039--0.04755340) × cos(0.75113344) × R
    0.000766989999999995 × 0.730915802407826 × 6371000     		do = 3571.61516402078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04832039--0.04755340) × cos(0.75057269) × R
    0.000766989999999995 × 0.731298381206282 × 6371000     		du = 3573.48463275234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75113344)-sin(0.75057269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.730915802407826-0.731298381206282)×R²
    abs(-0.04755340--0.04832039)×0.000382578798456379×R²
    0.000766989999999995×0.000382578798456379×6371000²
    0.000766989999999995×0.000382578798456379×40589641000000     		ar = 12763071.496457m²