Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4036 / 3012
↖ ↑ ↗
← N 42.940339°
W  2.636719°		 ← 3 577.22 m → N 42.940339°
W  2.592773°		 →
↑
3 578.14 m
↓
↑
3 578.14 m
↓
N 42.908160°
W  2.636719°		 ← 3 579.09 m →
12 803 166 m²		 N 42.908160°
W  2.592773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.49273681640625 y=0.36773681640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.49273681640625 × 213)
    floor (0.49273681640625 × 8192)
    floor (4036.5)     		tx = 4036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.36773681640625 × 213)
    floor (0.36773681640625 × 8192)
    floor (3012.5)     		ty = 3012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4036 / 3012 ti = "13/4036/3012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4036/3012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4036 ÷ 213
    4036 ÷ 8192     		x = 0.49267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3012 ÷ 213
    3012 ÷ 8192     		y = 0.36767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49267578125 × 2 - 1) × π
    -0.0146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.04601942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    0.2646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.831417587010254
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.04601942} λ = -0.04601942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.831417587010254))-π/2
    2×atan(2.29657202448267)-π/2
    2×1.16012331416384-π/2
    2.32024662832767-1.57079632675     		φ = 0.74945030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.04601942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -2.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74945030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.940339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4036 KachelY 3012 -0.04601942 0.74945030 -2.636719 42.940339
    Oben rechts KachelX + 1 4037 KachelY 3012 -0.04525243 0.74945030 -2.592773 42.940339
    Unten links KachelX 4036 KachelY + 1 3013 -0.04601942 0.74888867 -2.636719 42.908160
    Unten rechts KachelX + 1 4037 KachelY + 1 3013 -0.04525243 0.74888867 -2.592773 42.908160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74945030-0.74888867) × R
    0.00056162999999998 × 6371000     		dl = 3578.14472999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74945030-0.74888867) × R
    0.00056162999999998 × 6371000     		dr = 3578.14472999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.04601942--0.04525243) × cos(0.74945030) × R
    0.000766989999999995 × 0.732063455134092 × 6371000     		do = 3577.22316136694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.04601942--0.04525243) × cos(0.74888867) × R
    0.000766989999999995 × 0.732445942483346 × 6371000     		du = 3579.09218323257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74945030)-sin(0.74888867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732063455134092-0.732445942483346)×R²
    abs(-0.04525243--0.04601942)×0.000382487349253724×R²
    0.000766989999999995×0.000382487349253724×6371000²
    0.000766989999999995×0.000382487349253724×40589641000000     		ar = 12803166.3547884m²