Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4159 / 2878
↖ ↑ ↗
← N 47.100045°
E  2.768554°		 ← 3 326.38 m → N 47.100045°
E  2.812500°		 →
↑
3 327.25 m
↓
↑
3 327.25 m
↓
N 47.070122°
E  2.768554°		 ← 3 328.25 m →
11 070 818 m²		 N 47.070122°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50775146484375 y=0.35137939453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50775146484375 × 213)
    floor (0.50775146484375 × 8192)
    floor (4159.5)     		tx = 4159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35137939453125 × 213)
    floor (0.35137939453125 × 8192)
    floor (2878.5)     		ty = 2878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4159 / 2878 ti = "13/4159/2878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4159/2878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4159 ÷ 213
    4159 ÷ 8192     		x = 0.5076904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2878 ÷ 213
    2878 ÷ 8192     		y = 0.351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5076904296875 × 2 - 1) × π
    0.015380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.04832039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351318359375 × 2 - 1) × π
    0.29736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.934194299795654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04832039} λ = 0.04832039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.934194299795654))-π/2
    2×atan(2.545161993879)-π/2
    2×1.19642359226197-π/2
    2.39284718452395-1.57079632675     		φ = 0.82205086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04832039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.768554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82205086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.100045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4159 KachelY 2878 0.04832039 0.82205086 2.768554 47.100045
    Oben rechts KachelX + 1 4160 KachelY 2878 0.04908739 0.82205086 2.812500 47.100045
    Unten links KachelX 4159 KachelY + 1 2879 0.04832039 0.82152861 2.768554 47.070122
    Unten rechts KachelX + 1 4160 KachelY + 1 2879 0.04908739 0.82152861 2.812500 47.070122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82205086-0.82152861) × R
    0.000522250000000057 × 6371000     		dl = 3327.25475000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82205086-0.82152861) × R
    0.000522250000000057 × 6371000     		dr = 3327.25475000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04832039-0.04908739) × cos(0.82205086) × R
    0.000767000000000004 × 0.680720295882583 × 6371000     		do = 3326.37852688712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04832039-0.04908739) × cos(0.82152861) × R
    0.000767000000000004 × 0.681102773840653 × 6371000     		du = 3328.24752723047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82205086)-sin(0.82152861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680720295882583-0.681102773840653)×R²
    abs(0.04908739-0.04832039)×0.000382477958069671×R²
    0.000767000000000004×0.000382477958069671×6371000²
    0.000767000000000004×0.000382477958069671×40589641000000     		ar = 11070818.3256455m²