Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4160 / 2879
↖ ↑ ↗
← N 47.070122°
E  2.812500°		 ← 3 328.20 m → N 47.070122°
E  2.856446°		 →
↑
3 329.17 m
↓
↑
3 329.17 m
↓
N 47.040182°
E  2.812500°		 ← 3 330.07 m →
11 083 256 m²		 N 47.040182°
E  2.856446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50787353515625 y=0.35150146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50787353515625 × 213)
    floor (0.50787353515625 × 8192)
    floor (4160.5)     		tx = 4160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.35150146484375 × 213)
    floor (0.35150146484375 × 8192)
    floor (2879.5)     		ty = 2879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4160 / 2879 ti = "13/4160/2879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4160/2879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4160 ÷ 213
    4160 ÷ 8192     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2879 ÷ 213
    2879 ÷ 8192     		y = 0.3514404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3514404296875 × 2 - 1) × π
    0.297119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.933427309401733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.933427309401733))-π/2
    2×atan(2.54321062751401)-π/2
    2×1.19616246595873-π/2
    2.39232493191745-1.57079632675     		φ = 0.82152861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82152861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.070122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4160 KachelY 2879 0.04908739 0.82152861 2.812500 47.070122
    Oben rechts KachelX + 1 4161 KachelY 2879 0.04985438 0.82152861 2.856446 47.070122
    Unten links KachelX 4160 KachelY + 1 2880 0.04908739 0.82100606 2.812500 47.040182
    Unten rechts KachelX + 1 4161 KachelY + 1 2880 0.04985438 0.82100606 2.856446 47.040182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82152861-0.82100606) × R
    0.000522550000000011 × 6371000     		dl = 3329.16605000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82152861-0.82100606) × R
    0.000522550000000011 × 6371000     		dr = 3329.16605000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.04985438) × cos(0.82152861) × R
    0.000766989999999995 × 0.681102773840653 × 6371000     		do = 3328.20413417272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.04985438) × cos(0.82100606) × R
    0.000766989999999995 × 0.681485285580883 × 6371000     		du = 3330.0732752247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82152861)-sin(0.82100606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681102773840653-0.681485285580883)×R²
    abs(0.04985438-0.04908739)×0.000382511740230518×R²
    0.000766989999999995×0.000382511740230518×6371000²
    0.000766989999999995×0.000382511740230518×40589641000000     		ar = 11083255.8036217m²