Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4161 / 2753
↖ ↑ ↗
← N 50.708634°
E  2.856446°		 ← 3 094.44 m → N 50.708634°
E  2.900391°		 →
↑
3 095.35 m
↓
↑
3 095.35 m
↓
N 50.680797°
E  2.856446°		 ← 3 096.28 m →
9 581 224 m²		 N 50.680797°
E  2.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50799560546875 y=0.33612060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50799560546875 × 213)
    floor (0.50799560546875 × 8192)
    floor (4161.5)     		tx = 4161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.33612060546875 × 213)
    floor (0.33612060546875 × 8192)
    floor (2753.5)     		ty = 2753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4161 / 2753 ti = "13/4161/2753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4161/2753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4161 ÷ 213
    4161 ÷ 8192     		x = 0.5079345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2753 ÷ 213
    2753 ÷ 8192     		y = 0.3360595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5079345703125 × 2 - 1) × π
    0.015869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04985438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3360595703125 × 2 - 1) × π
    0.327880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03006809903577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04985438} λ = 0.04985438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03006809903577))-π/2
    2×atan(2.80125659107663)-π/2
    2×1.22791447813038-π/2
    2.45582895626077-1.57079632675     		φ = 0.88503263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04985438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.856446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88503263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.708634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4161 KachelY 2753 0.04985438 0.88503263 2.856446 50.708634
    Oben rechts KachelX + 1 4162 KachelY 2753 0.05062137 0.88503263 2.900391 50.708634
    Unten links KachelX 4161 KachelY + 1 2754 0.04985438 0.88454678 2.856446 50.680797
    Unten rechts KachelX + 1 4162 KachelY + 1 2754 0.05062137 0.88454678 2.900391 50.680797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88503263-0.88454678) × R
    0.00048585000000001 × 6371000     		dl = 3095.35035000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88503263-0.88454678) × R
    0.00048585000000001 × 6371000     		dr = 3095.35035000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04985438-0.05062137) × cos(0.88503263) × R
    0.000766990000000002 × 0.633264248305253 × 6371000     		do = 3094.44150014052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04985438-0.05062137) × cos(0.88454678) × R
    0.000766990000000002 × 0.633640190185394 × 6371000     		du = 3096.27853761526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88503263)-sin(0.88454678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633264248305253-0.633640190185394)×R²
    abs(0.05062137-0.04985438)×0.000375941880141228×R²
    0.000766990000000002×0.000375941880141228×6371000²
    0.000766990000000002×0.000375941880141228×40589641000000     		ar = 9581223.90628237m²